Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com uma velocidade inicial de 60 m / s. Três segundos depois lançou-se, segundo a mesma direção e sentido, uma segunda esfera com velocidade inicial de 80 m / s. Considerando g=10 m / s^2 e desprezando a resistência do ar, calcule: o tempo gasto pela segunda esfera até encontrar a primeira e a altura do encontro;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas esferas lançadas verticalmente para cima com velocidades iniciais diferentes e em momentos distintos. O conteúdo aqui envolve cinemática, especificamente o movimento uniformemente variado (MUV) devido à gravidade. Para resolver, vamos precisar usar as equações de movimento para calcular o tempo que a segunda esfera leva para encontrar a primeira e a altura desse encontro.

Passo 2

Primeiro, vamos entender como cada esfera se move. A primeira esfera foi lançada com uma velocidade inicial de 60 , m/s e a segunda, três segundos depois, com 80 , m/s. A gravidade está puxando ambas as esferas com uma aceleração de g = 10 , m/s^2 para baixo.

Passo 3

Vamos definir o tempo desde o lançamento da segunda esfera como t. Isso significa que, para a primeira esfera, o tempo total de voo até o encontro será t + 3 segundos, já que ela foi lançada 3 segundos antes.

Passo 4

Agora, vamos usar a equação de posição para cada esfera. A posição s em função do tempo t para um movimento vertical é dada por:
s = v0 t - 12 g t^2
Onde:
  • v0 é a velocidade inicial,
  • g é a aceleração da gravidade,
  • t é o tempo.

Passo 5

Para a primeira esfera (lançada com 60 , m/s):
s1 = 60(t + 3) - 12 times 10 times (t + 3)^2
Para a segunda esfera (lançada com 80 , m/s):
s2 = 80t - 12 times 10 times t^2

Passo 6

No encontro, as duas posições são iguais: s1 = s2. Então, igualamos as duas equações:
60(t + 3) - 5(t + 3)^2 = 80t - 5t^2

Passo 7

Vamos simplificar essa equação:
60t + 180 - 5(t^2 + 6t + 9) = 80t - 5t^2
Distribuindo o -5:
60t + 180 - 5t^2 - 30t - 45 = 80t - 5t^2
Simplificando:
30t + 135 = 80t

Passo 8

Isolando t:
135 = 50t implies t = 13550 = 2.7 , segundos

Passo 9

Agora que temos o tempo t = 2.7 , s que a segunda esfera leva para encontrar a primeira, vamos calcular a altura do encontro usando uma das equações de posição. Vamos usar s2:
s = 80 times 2.7 - 5 times (2.7)^2
Calculando:
s = 216 - 5 times 7.29 = 216 - 36.45 = 179.55 , metros

Resposta

A segunda esfera leva 2,7 segundos para encontrar a primeira, e o encontro ocorre na altura de aproximadamente 179,55 metros.

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