Lançou-se uma esfera verticalmente de baixo para cima com uma velocidade inicial de
. Três segundos depois lançou-se, segundo a mesma direção e sentido, uma segunda esfera com velocidade inicial de
. Considerando
e desprezando a resistência do ar, calcule: o tempo gasto pela segunda esfera até encontrar a primeira e a altura do encontro;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre duas esferas lançadas verticalmente para cima com velocidades iniciais diferentes e em momentos distintos. O conteúdo aqui envolve cinemática, especificamente o movimento uniformemente variado (MUV) devido à gravidade. Para resolver, vamos precisar usar as equações de movimento para calcular o tempo que a segunda esfera leva para encontrar a primeira e a altura desse encontro.
Passo 2
Primeiro, vamos entender como cada esfera se move. A primeira esfera foi lançada com uma velocidade inicial de
e a segunda, três segundos depois, com
. A gravidade está puxando ambas as esferas com uma aceleração de
para baixo.
Passo 3
Vamos definir o tempo desde o lançamento da segunda esfera como
. Isso significa que, para a primeira esfera, o tempo total de voo até o encontro será
segundos, já que ela foi lançada 3 segundos antes.
Passo 4
Agora, vamos usar a equação de posição para cada esfera. A posição
em função do tempo
para um movimento vertical é dada por:
Onde:
-
é a velocidade inicial, -
é a aceleração da gravidade, -
é o tempo.
Passo 5
Para a primeira esfera (lançada com
):
Para a segunda esfera (lançada com
):
Passo 6
No encontro, as duas posições são iguais:
. Então, igualamos as duas equações:
Passo 7
Vamos simplificar essa equação:
Distribuindo o -5:
Simplificando:
Passo 8
Isolando
:
Passo 9
Agora que temos o tempo
que a segunda esfera leva para encontrar a primeira, vamos calcular a altura do encontro usando uma das equações de posição. Vamos usar
:
Calculando:
Resposta
A segunda esfera leva 2,7 segundos para encontrar a primeira, e o encontro ocorre na altura de aproximadamente 179,55 metros.