Três pontos A, B e C, no momento inicial estão situados na mesma reta horizontal, a igual distância um do outro. O ponto A começa a mover-se verticalmente para cima com velocidade constante v , e o ponto C , sem velocidade inicial, verticalmente para baixo com aceleração constante a. Como deve-se mover o ponto B na direção vertical, para que os três pontos se encontrem o tempo todo numa mesma reta? Os pontos começam a mover-se simultaneamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um problema de cinemática, que é a parte da física que estuda o movimento dos objetos. A gente tem três pontos, A, B e C, alinhados inicialmente na mesma reta horizontal e igualmente espaçados. O ponto A começa a subir com velocidade constante $ v $, e o ponto C começa a descer com uma aceleração constante $ a $. Precisamos descobrir como o ponto B deve se mover verticalmente para que, em todo instante, os três pontos permaneçam alinhados na mesma reta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender as posições dos pontos ao longo do tempo. Vamos chamar o tempo de $ t $.
  • Ponto A: Está se movendo para cima com velocidade constante $ v $. A posição vertical de A em função do tempo é:
    t
  • Ponto C: Está se movendo para baixo com aceleração constante $ a $. Como começa do repouso, a posição vertical de C em função do tempo é:
    v
    O sinal negativo indica que está descendo.

Passo 3

Agora, queremos que os três pontos A, B e C estejam sempre na mesma reta. Para isso, a posição do ponto B, $ y_B(t) $, deve estar alinhada entre as posições de A e C.
A relação de alinhamento implica que a posição de B deve ser uma espécie de média ponderada entre $ y_A(t) $ e $ y_C(t) $. Vamos expressar isso matematicamente.

Passo 4

Sabemos que para três pontos estarem alinhados, a inclinação entre A e B deve ser igual à inclinação entre B e C. Matematicamente, isso significa:
yB(t) - yA(t)xB - xA = yC(t) - yB(t)xC - xB
Como os pontos estão igualmente espaçados na horizontal e simétricos, podemos considerar $ x_A = -d $, $ x_B = 0 $ e $ x_C = d $. Simplificando:
xA = -d

Passo 5

Simplificando a equação acima:
yB(t) - yA(t) = yC(t) - yB(t)
2yB(t) = yA(t) + yC(t)
yB(t) = yA(t) + yC(t)2
Isso significa que a posição de B deve ser a média das posições de A e C em qualquer instante $ t $.

Passo 6

Substituindo as expressões de $ y_A(t) $ e $ y_C(t) $:
yA(t)
yC(t)
yB(t) = v cdot t + (-12 a t^2)2

Resposta

A posição vertical do ponto B deve ser dada por:
yB(t) = v2 t - a4 t^2

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