Se <u, v1> = <u, v2> e u != 0, podemos concluir que v1 = v2 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta se, dado que o produto interno de um vetor u com v1 é igual ao produto interno de u com v2, ou seja, , e sabendo que u não é o vetor zero, podemos concluir que v1 é igual a v2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto interno (ou produto escalar) e como ele relaciona os vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores a e b, denotado por , é uma operação que resulta em um número real. Ele nos dá uma medida de quanto os vetores “apontam na mesma direção”. Se o produto interno for zero, os vetores são perpendiculares.
No nosso caso, temos . Vamos subtrair esses dois lados para ver o que acontece:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, o que isso significa? Significa que o produto interno entre u e a diferença dos vetores é igual a zero. Segundo a definição do produto interno, isso implica que u é perpendicular a .

Passo 4

Então, se u é perpendicular a , o que isso nos diz sobre v1 e v2? Bem, que a diferença entre eles é um vetor que está “em uma direção” perpendicular a u. Mas será que isso significa que v1 é igual a v2?

Passo 5

Não necessariamente. O fato de u ser perpendicular a apenas nos diz que a diferença entre v1 e v2 não tem componente na direção de u. Mas pode haver componentes em outras direções. Portanto, v1 e v2 podem diferir em direções que são perpendiculares a u.

Resposta

Não, não podemos concluir que v1 é igual a v2. A igualdade apenas garante que a diferença é perpendicular a u, mas eles podem diferir em outras direções.

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