Se e , podemos concluir que ? Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta se, dado que o produto interno de um vetor u com v1 é igual ao produto interno de u com v2, ou seja, , e sabendo que u não é o vetor zero, podemos concluir que v1 é igual a v2. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto interno (ou produto escalar) e como ele relaciona os vetores no espaço.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores a e b, denotado por , é uma operação que resulta em um número real. Ele nos dá uma medida de quanto os vetores “apontam na mesma direção”. Se o produto interno for zero, os vetores são perpendiculares.
No nosso caso, temos . Vamos subtrair esses dois lados para ver o que acontece:
Isso simplifica para:
Passo 3
Agora, o que isso significa? Significa que o produto interno entre u e a diferença dos vetores é igual a zero. Segundo a definição do produto interno, isso implica que u é perpendicular a .
Passo 4
Então, se u é perpendicular a , o que isso nos diz sobre v1 e v2? Bem, que a diferença entre eles é um vetor que está “em uma direção” perpendicular a u. Mas será que isso significa que v1 é igual a v2?
Passo 5
Não necessariamente. O fato de u ser perpendicular a apenas nos diz que a diferença entre v1 e v2 não tem componente na direção de u. Mas pode haver componentes em outras direções. Portanto, v1 e v2 podem diferir em direções que são perpendiculares a u.
Resposta
Não, não podemos concluir que v1 é igual a v2. A igualdade apenas garante que a diferença é perpendicular a u, mas eles podem diferir em outras direções.