Se e , podemos concluir que ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pergunta se, dado que o produto interno de um vetor com é igual ao produto interno de com , ou seja, , e sabendo que não é o vetor zero, podemos concluir que é igual a . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é o produto interno (ou produto escalar) e como ele relaciona os vetores no espaço.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é o produto interno. O produto interno entre dois vetores e , denotado por , é uma operação que resulta em um número real. Ele nos dá uma medida de quanto os vetores “apontam na mesma direção”. Se o produto interno for zero, os vetores são perpendiculares.
No nosso caso, temos . Vamos subtrair esses dois lados para ver o que acontece:
Isso simplifica para:

Passo 3

Agora, o que isso significa? Significa que o produto interno entre e a diferença dos vetores é igual a zero. Segundo a definição do produto interno, isso implica que é perpendicular a .

Passo 4

Então, se é perpendicular a , o que isso nos diz sobre e ? Bem, que a diferença entre eles é um vetor que está “em uma direção” perpendicular a . Mas será que isso significa que é igual a ?

Passo 5

Não necessariamente. O fato de ser perpendicular a apenas nos diz que a diferença entre e não tem componente na direção de . Mas pode haver componentes em outras direções. Portanto, e podem diferir em direções que são perpendiculares a .

Resposta

Não, não podemos concluir que é igual a . A igualdade apenas garante que a diferença é perpendicular a , mas eles podem diferir em outras direções.

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Sejam . Quais vetores, se é que existem, são:
(a) perpendiculares? Justifique.
(b) paralelos? Justifique.