Verifique en cada caso que
:
Passo 1
Então, a gente tem que verificar se as duas integrais duplas são iguais para a função
com os limites
,
,
e
. Isso envolve calcular as integrais nas duas ordens diferentes e ver se dão o mesmo resultado. Vamos precisar usar o cálculo de integrais duplas e entender como trocar a ordem de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a integral na ordem
seguida de
:
Para isso, vamos integrar com relação a
primeiro, mantendo
constante.
Passo 3
Integrando
em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:
Passo 4
Agora, integremos essa expressão em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral total na ordem
seguida de
é:
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral na ordem
seguida de
:
Vamos integrar com relação a
primeiro, mantendo
constante.
Passo 6
Integrando
em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:
Passo 7
Agora, integremos essa expressão em relação a
:
Calculando cada parte:
Então, a integral total na ordem
seguida de
é:
Resposta
As duas integrais duplas são iguais e valem
.
Exercícios relacionados
Explique o que significa dizer que a reta
é uma assíntota horizontal da função
. Em seguida, considerando os gráficos esboçados no Exercício 1, determine as assíntotas horizontais sugeridas por cada um deles.
Seja
uma função harmônica no aberto
, ou seja,
, para todo
. Sejam ainda
funções de classe
no aberto
tais que
para todo
e satisfaçam
e
.
a. Mostre que .
b. Mostre que .
a. Mostre que
b. Mostre que
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de
sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Seja
a. Verifique que para todo
, e que
, para todo
.
b. Verifique que e que
.
a. Verifique que
b. Verifique que