Verifique en cada caso que :

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se as duas integrais duplas são iguais para a função com os limites , , e . Isso envolve calcular as integrais nas duas ordens diferentes e ver se dão o mesmo resultado. Vamos precisar usar o cálculo de integrais duplas e entender como trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral na ordem seguida de :
Para isso, vamos integrar com relação a primeiro, mantendo constante.

Passo 3

Integrando em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, integremos essa expressão em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral total na ordem seguida de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral na ordem seguida de :
Vamos integrar com relação a primeiro, mantendo constante.

Passo 6

Integrando em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral interna fica:

Passo 7

Agora, integremos essa expressão em relação a :
Calculando cada parte:
Então, a integral total na ordem seguida de é:

Resposta

As duas integrais duplas são iguais e valem .

Exercícios relacionados

Explique o que significa dizer que a reta é uma assíntota horizontal da função . Em seguida, considerando os gráficos esboçados no Exercício 1, determine as assíntotas horizontais sugeridas por cada um deles.
Seja uma função harmônica no aberto , ou seja, , para todo . Sejam ainda funções de classe no aberto tais que para todo e satisfaçam e .
a. Mostre que .
b. Mostre que .
Las integrales iteradas que siguen corresponden a integrales dobles de sobre dominios que se croquizarán. Expresar dichas integrales dobles por integrales iteradas en el orden inverso de integración:
Seja
a. Verifique que para todo , e que , para todo .
b. Verifique que e que .