Verifique en cada caso que integrala^b integralc^d f(x, y) d y d x=integralc^d integrala^b f(x, y) d x d y : a=1, b=2, c=-1, d=2, f(x, y)=12 x y^2-8 x^3

Passo 1

Então, a gente tem que verificar se as duas integrais duplas são iguais para a função com os limites , , e . Isso envolve calcular as integrais nas duas ordens diferentes e ver se dão o mesmo resultado. Vamos precisar usar o cálculo de integrais duplas e entender como trocar a ordem de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a integral na ordem integral1^2 integral-1^2 (12xy^2 - 8x^3) , dy , dx seguida de :
Para isso, vamos integrar com relação a primeiro, mantendo constante.

Passo 3

Integrando integral-1^2 (12xy^2 - 8x^3) , dy = 12x integral-1^2 y^2 , dy - 8x^3 integral-1^2 dy em relação a 12x [ y^33 ]-1^2 = 12x ( 83 - -13 ) = 12x ( 93 ) = 12x cdot 3 = 36x :
-8x^3 [ y ]-1^2 = -8x^3 (2 - (-1)) = -8x^3 cdot 3 = -24x^3
Calculando cada parte:
36x - 24x^3
Então, a integral interna fica:

Passo 4

Agora, integremos essa expressão em relação a integral1^2 (36x - 24x^3) , dx = 36 integral1^2 x , dx - 24 integral1^2 x^3 , dx :
36 [ x^22 ]1^2 = 36 ( 42 - 12 ) = 36 ( 32 ) = 54
Calculando cada parte:
-24 [ x^44 ]1^2 = -24 ( 164 - 14 ) = -24 ( 154 ) = -90
54 - 90 = -36
Então, a integral total na ordem seguida de é:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral na ordem integral-1^2 integral1^2 (12xy^2 - 8x^3) , dx , dy seguida de :
Vamos integrar com relação a primeiro, mantendo constante.

Passo 6

Integrando integral1^2 (12xy^2 - 8x^3) , dx = 12y^2 integral1^2 x , dx - 8 integral1^2 x^3 , dx em relação a 12y^2 [ x^22 ]1^2 = 12y^2 ( 42 - 12 ) = 12y^2 cdot 32 = 18y^2 :
-8 [ x^44 ]1^2 = -8 ( 164 - 14 ) = -8 cdot 154 = -30
Calculando cada parte:
18y^2 - 30
Então, a integral interna fica:

Passo 7

Agora, integremos essa expressão em relação a integral-1^2 (18y^2 - 30) , dy = 18 integral-1^2 y^2 , dy - 30 integral-1^2 dy :
18 [ y^33 ]-1^2 = 18 ( 83 - -13 ) = 18 cdot 93 = 54
Calculando cada parte:
-30 [ y ]-1^2 = -30 (2 - (-1)) = -30 cdot 3 = -90
54 - 90 = -36
Então, a integral total na ordem seguida de é:

Resposta

As duas integrais duplas são iguais e valem .

Exercícios relacionados