Uma lata de alumínio ( alpha alumínio =23 times 10^-6 ^circ C^-1í ) está cheia com um líquido até a borda. A lata e o líquido são aquecidos de tal forma que as suas temperaturas variam da mesma quantidade. O volume inicial da lata a 5^circ C é de 3,5 times 10^-4 m^3. Quando a lata e o líquido são aquecidos até 78^circ C, 3,6 times 10^-6 m^3 do líquido transbordam. Qual o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lata de alumínio cheia de um líquido até a borda. Tanto a lata quanto o líquido são aquecidos, aumentando a temperatura na mesma quantidade. Com isso, o volume da lata e do líquido vão mudar. Sabemos que parte do líquido transborda quando isso acontece. Queremos descobrir qual é o coeficiente de dilatação volumétrica desse líquido. Para resolver isso, vamos precisar entender como a dilatação térmica afeta o volume da lata e do líquido.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura que a lata e o líquido sofreram. A temperatura inicial é de 5^circC e a final é 78^circC. Então:
De

Passo 3

Agora, vamos lembrar que a dilatação volumétrica da lata de alumínio depende do coeficiente de dilatação linear. O coeficiente de dilatação volumétrica ( beta) está relacionado ao coeficiente linear ( alpha) pela fórmula:
beta = 3alpha
Dado que alphaalumínio = 23 times 10^-6 , ^circC^-1í, então:
betaalumínio = 3 times 23 times 10^-6 = 69 times 10^-6 , ^circC^-1 í

Passo 4

Vamos calcular a variação de volume da lata de alumínio usando a fórmula da dilatação volumétrica:
Deí
Substituindo os valores:
De

Passo 5

Vamos calcular De:
De
Primeiro multiplicamos os coeficientes:
3,5 times 69 = 241,5
E os expoentes de 10:
10^-4 times 10^-6 = 10^-10
Então:
De
Convertendo para uma forma mais simples:
De

Passo 6

Agora, vamos considerar a dilatação do líquido. Seja betalíquidoí o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido que queremos encontrar. A variação de volume do líquido é dada por:
Deíí
Como a lata e o líquido eram inicialmente até a borda, a variação do volume do líquido menos a variação do volume da lata vai resultar no volume que transbordou:
Deí
Substituindo:
Vtransbordado = Deí

Passo 7

Sabemos que Vtransbordado = 3,6 times 10^-6 , m^3. Vamos substituir na equação anterior:
3,6 times 10^-6 = Vinicial times betalíquido times Deí
Primeiro, precisamos identificar Vinicial. A lata está cheia até a borda, então:
Vinicial = 3,5 times 10^-4 , m^3

Passo 8

Vamos rearranjar a equação para encontrar betalíquidoí:
3,6 times 10^-6 = 3,5 times 10^-4 times betalíquido times 73 - 1,76295 times 10^-6 í
Somando 1,76295 times 10^-6 em ambos os lados:
3,6 times 10^-6 + 1,76295 times 10^-6 = 3,5 times 10^-4 times betalíquido times 73 í
5,36295 times 10^-6 = 3,5 times 10^-4 times betalíquido times 73 í

Passo 9

Agora, isolamos betalíquidoí:
betalíquido = 5,36295 times 10^-63,5 times 10^-4 times 73 í
Vamos calcular o denominador primeiro:
3,5 times 10^-4 times 73 = 2,555 times 10^-2
Então:
betalíquido = 5,36295 times 10^-62,555 times 10^-2 = 2,1 times 10^-4 , ^circC^-1 í

Resposta

O coeficiente de dilatação volumétrica do líquido é aproximadamente 2,1 times 10^-4 , ^circC^-1.

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