Uma lata de alumínio (
) está cheia com um líquido até a borda. A lata e o líquido são aquecidos de tal forma que as suas temperaturas variam da mesma quantidade. O volume inicial da lata a
é de
. Quando a lata e o líquido são aquecidos até
do líquido transbordam. Qual o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma lata de alumínio cheia de um líquido até a borda. Tanto a lata quanto o líquido são aquecidos, aumentando a temperatura na mesma quantidade. Com isso, o volume da lata e do líquido vão mudar. Sabemos que parte do líquido transborda quando isso acontece. Queremos descobrir qual é o coeficiente de dilatação volumétrica desse líquido. Para resolver isso, vamos precisar entender como a dilatação térmica afeta o volume da lata e do líquido.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a variação de temperatura que a lata e o líquido sofreram. A temperatura inicial é de
e a final é
. Então:
Passo 3
Agora, vamos lembrar que a dilatação volumétrica da lata de alumínio depende do coeficiente de dilatação linear. O coeficiente de dilatação volumétrica (
) está relacionado ao coeficiente linear (
) pela fórmula:
Dado que
, então:
Passo 4
Vamos calcular a variação de volume da lata de alumínio usando a fórmula da dilatação volumétrica:
Substituindo os valores:
Passo 5
Vamos calcular
:
Primeiro multiplicamos os coeficientes:
E os expoentes de 10:
Então:
Convertendo para uma forma mais simples:
Passo 6
Agora, vamos considerar a dilatação do líquido. Seja
o coeficiente de dilatação volumétrica do líquido que queremos encontrar. A variação de volume do líquido é dada por:
Como a lata e o líquido eram inicialmente até a borda, a variação do volume do líquido menos a variação do volume da lata vai resultar no volume que transbordou:
Substituindo:
Passo 7
Sabemos que
. Vamos substituir na equação anterior:
Primeiro, precisamos identificar
. A lata está cheia até a borda, então:
Passo 8
Vamos rearranjar a equação para encontrar
:
Somando
em ambos os lados:
Passo 9
Agora, isolamos
:
Vamos calcular o denominador primeiro:
Então:
Resposta
O coeficiente de dilatação volumétrica do líquido é aproximadamente
.