Use os métodos discutidos em Equações na forma
e em Equações com coeficientes lineares e resolva as equações diferenciais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado que você me passou é:
Aqui, estamos lidando com uma equação diferencial. Para resolver, vamos usar métodos que envolvem substituir variáveis e simplificar a equação para torná-la mais fácil de trabalhar. Vamos precisar entender um pouco sobre substituições em equações diferenciais e como separar as variáveis para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação. Vamos fazer uma substituição para tornar a expressão mais fácil de lidar. Vamos definir uma nova variável
da seguinte forma:
Isso significa que
. Agora, vamos encontrar a derivada de
em relação a
:
Passo 3
Sabemos que
. Substituindo isso na expressão da derivada de
:
Agora, temos uma equação diferencial em termos de
e
:
Passo 4
Essa nova equação é mais fácil de resolver porque é separável, o que significa que podemos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos fazer isso:
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
.
Passo 5
Vamos integrar:
A integral do lado esquerdo é uma fórmula conhecida:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Lembrando que
, podemos substituir de volta:
Passo 7
Finalmente, vamos isolar
para encontrar a solução geral da equação diferencial:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Uma calha de 300 cm de comprimento deve ser construída com uma folha de metal de largura 45 cm dobrando-se para cima
da folha de cada lado, fazendo-se um ângulo
com a horizontal. Determine o volume que a calha carrega se
.
Use o método discutido em Equações Homogêneas e resolva as equações abaixo:
A magnitude de um terremoto na escala Richter é dada por
. Se o terremoto de Koebe no Japão teve uma magnitude de 7.1, quanta energia liberou?
Uma lata cilíndrica de ter o volume de
. Expresse o custo do material necessário, em função do raio da base, para construir uma lata.