(2,0 pontos) Encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
(b) sumn=1^infty (x-5)^n ln nn+1.

Passo 1

Então, temos que encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
sumn=1^infty (x-5)^n ln nn+1
Aqui, estamos lidando com séries de potências e precisamos determinar para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série L = limn to infty | an+1an | , se
existe, então:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, .

Passo 3

Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x-5)^n+1 ln (n+1)n+2 cdot n+1(x-5)^n ln n |
Simplificando isso, temos:
L = limn to infty | (x-5) cdot ln (n+1)ln n cdot n+1n+2 |

Passo 4

Vamos simplificar cada parte do limite separadamente:
  1. L = |x-5| cdot 1 cdot 1 = |x-5| permanece como está.
  2. tende a 1 quando vai para infinito, pois .
  3. também tende a 1 quando cresce.
Portanto, o limite fica:

Passo 5

Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que |x-5| < 1 :
-1 < x - 5 < 1
Isso significa que:
4 < x < 6
Adicionando 5 em todas as partes da desigualdade:

Passo 6

Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos sumn=1^infty (4-5)^n ln nn+1 = sumn=1^infty (-1)^n ln nn+1 e sumn=1^infty (6-5)^n ln nn+1 = sumn=1^infty ln nn+1 :
  1. Para sumn=1^infty ln nn+1 :
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, que verifica se os termos são decrescentes e tendem a zero, vemos que:
  • é decrescente para .
  • .
    Portanto, a série converge para .
  1. Para :
Aqui, a série se torna:
Podemos comparar isso com a série , que diverge (já que cresce sem limite). Portanto, a série também diverge para .

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

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