(2,0 pontos) Encontre o intervalo de convergência das séries de potências dadas:
(b) .
Passo 1
Então, temos que encontrar o intervalo de convergência da série de potências dada por:
Aqui, estamos lidando com séries de potências e precisamos determinar para quais valores de essa série converge. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Razão, que nos ajuda a encontrar o raio de convergência da série.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste da Razão. Esse teste nos diz que, para uma série , se
existe, então:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
No nosso caso, .
Passo 3
Vamos aplicar o Teste da Razão à nossa série:
L = limn to infty | an+1an | = limn to infty | (x-5)^n+1 ln (n+1)n+2 cdot n+1(x-5)^n ln n |
Simplificando isso, temos:
L = limn to infty | (x-5) cdot ln (n+1)ln n cdot n+1n+2 |
Passo 4
Vamos simplificar cada parte do limite separadamente:
L = |x-5| cdot 1 cdot 1 = |x-5| permanece como está.
tende a 1 quando vai para infinito, pois .
também tende a 1 quando cresce.
Portanto, o limite fica:
Passo 5
Para que a série convirja pelo Teste da Razão, precisamos que |x-5| < 1 :
-1 < x - 5 < 1
Isso significa que:
4 < x < 6
Adicionando 5 em todas as partes da desigualdade:
Passo 6
Agora, precisamos verificar o que acontece nos pontos sumn=1^infty (4-5)^n ln nn+1 = sumn=1^infty (-1)^n ln nn+1 e sumn=1^infty (6-5)^n ln nn+1 = sumn=1^infty ln nn+1 :
Para sumn=1^infty ln nn+1 :
Essa é uma série alternada. Usando o Teste da Série Alternada, que verifica se os termos são decrescentes e tendem a zero, vemos que:
é decrescente para .
.
Portanto, a série converge para .
Para :
Aqui, a série se torna:
Podemos comparar isso com a série , que diverge (já que cresce sem limite). Portanto, a série também diverge para .