A lei dos gases ideais é válida para um gás quando, entre outras coisas, quaisquer interações entre as partículas são ignoradas. Ummais realista modelofoi proposto por Johannes Diderik van der Waals em 1873, pelo qual ele recebeu um Prêmio Nobel em 1910. Avan der equação de estado deWaals é
(P+a n^2V^2)(V-n b)=N kB T
onde a e b são constantes e n é a densidade numérica das partículas de gás. Use esta equação para determinar o trabalho realizado em um gás submetido a um processo isotérmico. Verifique se o seu resultado reduz para o caso de gás ideal quando a = b = 0 .

Passo 1

Então, temos um exercício sobre a equação de Van der Waals, que é uma versão mais realista da lei dos gases ideais. A questão quer que a gente utilize essa equação para encontrar o trabalho realizado por um gás durante um processo isotérmico (isto é, onde a temperatura muda pouco ou nada). Além disso, precisamos verificar se, quando as constantes $ a $ e $ b $ são iguais a zero, nosso resultado volta a ser o da lei dos gases ideais. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre termodinâmica, especificamente como calcular o trabalho em processos termodinâmicos usando a equação de estado de Van der Waals.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a equação de Van der Waals:
(P + a n^2V^2)(V - n b) = N kB T
Aqui, $ P $ é a pressão, $ V $ é o volume, $ T $ é a temperatura, $ N $ é o número de partículas, $ k_B $ é a constante de Boltzmann, e $ a $ e $ b $ são constantes específicas do gás que estamos analisando. O termo $ a $ corrige as interações entre as partículas, e $ b $ ajusta o volume ocupado por elas.

Passo 3

Nós precisamos encontrar o trabalho realizado em um processo isotérmico. Na termodinâmica, o trabalho $ W $ realizado por um gás durante uma expansão ou compressão é dado por:
W
Onde $ V_i $ e $ V_f $ são os volumes inicial e final, respectivamente. Nosso objetivo é expressar $ P $ em função de $ V $ usando a equação de Van der Waals e então integrar essa expressão para encontrar $ W $.

Passo 4

Vamos isolar $ P $ na equação de Van der Waals. Começamos dividindo ambos os lados por $ (V - n b) $:
P
Agora, isolamos $ P $:
(V - n b)
Então, temos uma expressão para $ P $ em termos de $ V $, que vamos usar na integral do trabalho.

Passo 5

Agora, vamos substituir $ P $ na integral do trabalho:
P
Vamos separar a integral em duas partes para facilitar o cálculo:
W = integralVi^Vf ( N kB TV - n b - a n^2V^2 ) dV

Passo 6

Vamos resolver cada uma dessas integrais separadamente.
Primeira Integral:
integral 1V - n b , dV = ln|V - n b| + C
Segunda Integral:
integral 1V^2 , dV = -1V + C
Onde $ C $ é a constante de integração, que vamos descartar porque estamos calculando uma integral definida.

Passo 7

Substituindo as integrais resolvidas de volta na expressão do trabalho:
W = N kB T [ ln( Vf - n bVi - n b ) ] - a n^2 [ -1Vf + 1Vi ]
Simplificando a segunda parte:
W = N kB T ln( Vf - n bVi - n b ) + a n^2 ( 1Vf - 1Vi )

Passo 8

Então, chegamos à expressão final para o trabalho realizado durante um processo isotérmico usando a equação de Van der Waals:
W = N kB T ln( Vf - n bVi - n b ) + a n^2 ( 1Vf - 1Vi )

Passo 9

Agora, vamos verificar se, ao colocar $ a = 0 $ e $ b = 0 $, nossa expressão volta a ser a do gás ideal. Substituindo:
a = 0
Isso simplifica para:
b = 0
Que é exatamente a expressão do trabalho realizado pelo gás ideal em um processo isotérmico. Portanto, nossa solução está correta!

Resposta

O trabalho realizado em um processo isotérmico pelo gás descrito pela equação de Van der Waals é dado por
W = N kB T ln( Vf - n bVi - n b ) + a n^2 ( 1Vf - 1Vi )
Além disso, ao considerar $ a = 0 $ e $ b = 0 $, a expressão reduz-se ao caso da lei dos gases ideais:
a = 0

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