Use o teorema de Bolzano-Weierstrass para concluir que a sequência abaixo converge
Calcule o limite dessa sequência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente usar o Teorema de Bolzano-Weierstrass para mostrar que a sequência
converge e calcular o limite dessa sequência. Então, vamos precisar entender o que é o Teorema de Bolzano-Weierstrass e como aplicá-lo para provar a convergência dessa sequência.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é o Teorema de Bolzano-Weierstrass. Esse teorema diz que toda sequência limitada em ℝ possui pelo menos uma subsequência convergente. Ou seja, se você tiver uma sequência que não “vai para o infinito” acima ou abaixo, pelo menos uma parte dela vai se aproximar de algum número específico.
Passo 3
Agora, vamos analisar a nossa sequência:
Podemos notar que cada termo é construído tomando a raiz quadrada de 2 vezes o termo anterior. Vamos chamar essa sequência de
, onde:
Passo 4
Vamos verificar se essa sequência é limitada. Observamos que todos os termos são positivos, então a sequência é limitada inferiormente por 0. Além disso, vamos supor que há um limite
para a sequência. Se
converge para
, então passando ao limite na relação de recorrência:
Passo 5
Elevando os dois lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Rearranjando a equação:
As soluções são
ou
. Como todos os termos da sequência são positivos e maiores que 0, descartamos
. Portanto, o limite deve ser 2.
Passo 6
Agora, vamos garantir que a sequência realmente converge para esse limite. Observamos que a sequência é monotonicamente crescente:
E já sabemos que todos os termos são menores que 2. Então, uma sequência que é crescente e limitada acima converge para o seu limite superior, que nesse caso é 2.
Resposta
A sequência converge para o limite
.