Resolver as integrais indefinidas abaixo usando o método de frações parciais.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral:
Esse exercício envolve frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples. Para isso, a gente vai precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador
. A ideia é encontrar os fatores que multiplicados dão esse polinômio. Começamos testando possíveis raízes racionais como
.
Testando
:
Então,
é um fator. Dividindo o polinômio por
, temos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar
. Testando
:
Então,
é outro fator. Dividindo, temos:
Portanto, o denominador completamente fatorado é:
Passo 4
Com o denominador fatorado, vamos escrever a fração como soma de frações parciais:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
,
,
e
.
Passo 5
Multiplicando ambos os lados pelo denominador
, ficamos com:
Para achar os valores dos coeficientes, vamos escolher valores estratégicos de
.
Passo 6
Primeiro, coloque
:
Agora, coloque
:
Passo 7
Vamos escolher outro valor, por exemplo,
:
Substituindo
e
:
Simplificando:
Passo 8
Escolha mais um valor, digamos
:
Substituindo
e
:
Passo 9
Agora temos um sistema de equações:
Subtraindo a segunda da primeira:
Substituindo em
:
Passo 10
Então, os coeficientes encontrados são:
Substituindo na decomposição inicial:
Passo 11
Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
Resposta
Juntando tudo, a solução da integral é:
onde
é a constante de integração.