Resolver as integrais indefinidas abaixo usando o método de frações parciais.
integral (x^2+1)x^4-7 x^3+18 x^2-20 x+8 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral:
integral x^2 + 1x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 , dx
Esse exercício envolve frações parciais, que é uma técnica para quebrar frações complicadas em partes mais simples. Para isso, a gente vai precisar fatorar o denominador e depois decompor a fração.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o denominador 1 - 7 + 18 - 20 + 8 = 0 . A ideia é encontrar os fatores que multiplicados dão esse polinômio. Começamos testando possíveis raízes racionais como x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 = (x - 1)(x^3 - 6x^2 + 12x - 8) .
Testando :
Então, é um fator. Dividindo o polinômio por , temos:

Passo 3

Agora, vamos fatorar 8 - 24 + 24 - 8 = 0 . Testando x^3 - 6x^2 + 12x - 8 = (x - 2)(x^2 - 4x + 4) = (x - 2)^3 :
x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 = (x - 1)(x - 2)^3
Então, é outro fator. Dividindo, temos:
Portanto, o denominador completamente fatorado é:

Passo 4

Com o denominador fatorado, vamos escrever a fração como soma de frações parciais:
x^2 + 1(x - 1)(x - 2)^3 = Ax - 1 + Bx - 2 + C(x - 2)^2 + D(x - 2)^3
Nosso objetivo é encontrar os valores de , , e .

Passo 5

Multiplicando ambos os lados pelo denominador x^2 + 1 = A(x - 2)^3 + B(x - 1)(x - 2)^2 + C(x - 1)(x - 2) + D(x - 1) , ficamos com:
Para achar os valores dos coeficientes, vamos escolher valores estratégicos de .

Passo 6

Primeiro, coloque 1 + 1 = A(-1)^3 Rightarrow 2 = -A Rightarrow A = -2 :
4 + 1 = D(1) Rightarrow 5 = D Rightarrow D = 5
Agora, coloque :

Passo 7

Vamos escolher outro valor, por exemplo, 0 + 1 = A(-2)^3 + B(-1)(-2)^2 + C(-1)(-2) + D(-1) :
1 = (-2)(-8) + B(4) + C(2) - 5 Rightarrow 1 = 16 + 4B + 2C - 5 Rightarrow -10 = 4B + 2C
Substituindo -5 = 2B + C (Equação 1) e :
Simplificando:
çã

Passo 8

Escolha mais um valor, digamos 9 + 1 = A(1)^3 + B(2)(1)^2 + C(2)(1) + D(2) :
10 = -2 + 2B + 2C + 10 Rightarrow 2B + 2C = 2 Rightarrow B + C = 1 (Equação 2)
Substituindo e :
çã

Passo 9

Agora temos um sistema de equações:
-5 = 2B + C 1 = B + C
Subtraindo a segunda da primeira:
-5 - 1 = (2B + C) - (B + C) Rightarrow -6 = B Rightarrow B = -6
Substituindo em -6 + C = 1 Rightarrow C = 7 :

Passo 10

Então, os coeficientes encontrados são:
A = -2, B = -6, C = 7, D = 5
Substituindo na decomposição inicial:
x^2 + 1(x - 1)(x - 2)^3 = -2x - 1 + -6x - 2 + 7(x - 2)^2 + 5(x - 2)^3

Passo 11

Agora, vamos integrar cada termo separadamente:
integral -2x - 1 , dx = -2 ln|x - 1|
integral -6x - 2 , dx = -6 ln|x - 2|
integral 7(x - 2)^2 , dx = -7x - 2
integral 5(x - 2)^3 , dx = -52(x - 2)^2

Resposta

Juntando tudo, a solução da integral é:
integral x^2 + 1x^4 - 7x^3 + 18x^2 - 20x + 8 , dx = -2 ln|x - 1| - 6 ln|x - 2| - 7x - 2 - 52(x - 2)^2 + C
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados