Resolva as equações diferenciais lineares abaixo pelo método do fator integrante, usando as condições iniciais:
com
e
Passo 1
Beleza! A gente tem a equação diferencial
com
e a condição inicial
. Vamos resolver isso usando o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão e identificar o que precisamos para aplicar o método.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
Para isso, dividimos todos os termos por
:
Aqui, identificamos que
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Então, o fator integrante é
.
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante
:
Simplificando cada termo:
Passo 5
Agora, a equação fica na forma exata, onde o lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 6
Integramos ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Resolvendo para
, temos:
Passo 8
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Sabemos que
, então:
Resposta
A solução da equação diferencial é: