Resolva as equações diferenciais lineares abaixo pelo método do fator integrante, usando as condições iniciais:
x^2 dy/dx + x y = 1 com x > 0 e y(1) = 2

Passo 1

Beleza! A gente tem a equação diferencial com e a condição inicial . Vamos resolver isso usando o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver equações diferenciais lineares de primeira ordem. Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão e identificar o que precisamos para aplicar o método.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão de uma equação linear:
Para isso, dividimos todos os termos por :
Aqui, identificamos que e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante , que é dado por:
Então, o fator integrante é .

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante :
Simplificando cada termo:

Passo 5

Agora, a equação fica na forma exata, onde o lado esquerdo é a derivada do produto :

Passo 6

Integramos ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Resolvendo para , temos:

Passo 8

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Sabemos que , então:

Resposta

A solução da equação diferencial é:

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