Leia com atenção as afirmações:
(III) O limite lim x infty(1x)^e^x é uma indeterminação e seu valor é 0 .
A sequência correta que descreve a veracidade das afirmações é:
[ ] VVV [ ] FFF [ ] FVF [ ]VFF [ ]VVF [ ] FVV

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que está acontecendo aqui! Temos uma afirmação sobre um limite matemático e precisamos verificar se ela é verdadeira ou falsa. O enunciado fala sobre o limite e diz que ele é uma indeterminação com valor igual a 0. Nosso objetivo é analisar essa afirmação usando conhecimentos de cálculo de limites e exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está acontecendo com a expressão conforme tende ao infinito. Temos uma base que está indo para 0 e um expoente que está indo para o infinito. Então, estamos lidando com uma forma do tipo , que é uma das formas indeterminadas em limites.

Passo 3

Para resolver esse limite, vamos reescrever a expressão usando propriedades de logaritmos e exponenciais. Sabemos que qualquer expressão da forma (1x)^e^x = e^e^x cdot ln(1x) = e^e^x cdot (-ln(x)) pode ser escrita como limx to infty e^ -e^x cdot ln(x) . Aplicando isso:
Então, o limite passa a ser:

Passo 4

Agora, vamos analisar o expoente -e^x cdot ln(x) to -infty quando x to infty . Sabemos que e^-infty = 0 cresce muito mais rápido que conforme tende ao infinito. Portanto, tende a infinito, e assim:
Então, a expressão se torna:

Passo 5

Concluímos que:
limx to infty (1x)^e^x = 0
Agora, vamos verificar a afirmação:
“(III) O limite é uma indeterminação e seu valor é 0.”
Sabemos que a forma é indeterminada, mas após a análise, determinamos que o limite realmente tende a 0. Portanto, a afirmação está correta.

Resposta

[VFF]

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