Leia com atenção, resolva cada questão de forma organizada justificando suas respostas.
Calcule dy/dx = y', onde y = f(x) é dado implicitamente pela equação:
1/x + 1/y = 1

Passo 1

Beleza, a gente tem a equação e precisa encontrar a derivada de y em relação a x, ou seja, . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica usada quando y está definido de forma implícita em relação a x na equação.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar cada termo da equação com respeito a x. Lembre-se que quando derivamos em relação a x, y também depende de x, então precisamos aplicar a regra da cadeia.
  • A derivada de 1/x em relação a x é . Isso vem da regra do poder, já que .
  • Agora, para a derivada de em relação a x, usamos a regra da cadeia. Primeiro derivamos com respeito a y e depois multiplicamos pela derivada de y em relação a x ( ).
Então, derivando ambos os lados da equação original:

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação para encontrar .
Primeiro, isole o termo que contém :
Multiplicando ambos os lados por para isolar :

Resposta

A derivada é .

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