Leia o texto a seguir. Van Gogh (1853-1890) vendeu um único quadro em vida a seu irmão, por 400 francos. Nas palavras do artista: “Não posso evitar os fatos de que meus quadros não sejam vendáveis. Mas virá o tempo em que as pessoas verão que eles valem mais que o preço das tintas”. A mercantilização da cultura impulsionou o mercado de artes nos grandes centros urbanos. Hoje, o quadro Jardim das Flores, de Van Gogh, é avaliado em aproximadamente 84 milhões de dólares. Supondo que há 61 anos essa obra custasse 84 dólares e que sua valorização até 2013 ocorra segundo uma PG,
assinale a alternativa que apresenta, corretamente, o valor dessa obra em 2033, considerando que sua valorização continue conforme a mesma PG.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre a valorização de um quadro de Van Gogh ao longo do tempo, especificamente usando uma Progressão Geométrica (PG). A gente precisa descobrir quanto esse quadro vai valer em 2033, seguindo a mesma taxa de valorização que ele teve até 2013. Para resolver, vamos precisar entender como funciona uma PG e usar a fórmula da terceira etapa dessa progressão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender os dados que temos:
  • Valor inicial §: Há 61 anos, o quadro valia 84 dólares.
  • Valor em 2013 (Aₙ): Até 2013, o quadro valorizou para 84 milhões de dólares.
  • Período: 61 anos para chegar a 2013 e mais 20 anos até 2033.
Queremos encontrar o valor em 2033 (Aₓ).

Passo 3

Agora, precisamos relembrar o que é uma Progressão Geométrica (PG). Em uma PG, cada termo depois do primeiro é encontrado multiplicando o termo anterior por uma constante chamada razão ®.
A fórmula para o n-ésimo termo de uma PG é:
An = P times r^n
Onde:
  • $ A_n $ é o valor no n-ésimo período.
  • $ P $ é o valor inicial.
  • $ r $ é a razão.
  • $ n $ é o número de períodos.

Passo 4

Primeiro, vamos encontrar a razão $ r $ da PG que leva o valor de 84 dólares a 84 milhões de dólares em 61 anos.
Temos:
r õó
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por 84 dólares:
84, milhões = 84, dólares times r^61
Agora, para encontrar $ r $, tiramos a raiz 61 de 1.000.000:
1,000,000 = r^61

Passo 5

Vamos calcular o valor de $ r $:
r
Isso significa que, aproximadamente, o valor do quadro aumenta 14,72% ao ano.

Passo 6

Agora que sabemos a razão, podemos calcular o valor em 2033, que é 20 anos após 2013.
Usamos a mesma fórmula da PG:
A20 = 84, milhões times (1,1472)^20 õ

Passo 7

Calculando $ (1,1472)^{20} $:
(1,1472)^20
Então:
(1,1472)^20 approx 16,23 õõ

Resposta

O valor da obra em 2033 será aproximadamente 1.364,12 milhões de dólares.

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