Um leito fixo é composto de partículas cúbicas com 0,020 m de lado.
Dados: d bulk =980 kg / m^3 d verdadera =1500 kg / m^3
Com os dados acima calcule:
a) A fração de vazios do leito
b) A superfície específica de uma partícula
c) A superfície específica do leito
d) O diâmetro efetivo de cada partícula (produto phi cdot Dp )
e) A esfericidade das partículas
f) Se água escoar por este leito a 2 cm / s(rho=1000 kg / m^3, mu=10^-3 Pa cdot s), determine se o escoamento no leito será laminar ou turbulento)
g) Calcule a velocidade intersticial da água no leito
h) Calcule a permeabilidade do leito, como definida por Ergun ( k Ergun )
i) Considerando um leito de 1,3 m de altura calcule a queda de pressão no leito pela equação de Ergun

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre um leito fixo composto por partículas cúbicas com lado de 0,020 metros. A gente precisa usar conceitos de densidade, porosidade, área superficial, escoamento de fluidos e permeabilidade. Vamos precisar das densidades dadas, entender como calcular fração de vazios, área superficial de partículas e do leito, e utilizar a equação de Ergun para algumas partes. Bora resolver!

Passo 2

a) Fração de vazios do leito
Primeiro, vamos entender o que é fração de vazios (ou porosidade). Ela representa a parte do volume total que é ocupada por espaços vazios entre as partículas. A fórmula para a porosidade ( phi) é:
phi = 1 - rhoverdadeirarhobulk
Onde:
  • rhoverdadeira é a densidade verdadeira das partículas.
  • rhobulk é a densidade aparente do leito.

Passo 3

Vamos aplicar os valores fornecidos:
phi = 1 - 1500 kg/m^3980 kg/m^3 = 1 - 1,5306 approx -0,5306
Hmm, isso deu um valor negativo, o que não faz sentido para porosidade. Deve ter algo errado na fórmula. Na verdade, a fórmula correta é:
phi = 1 - rhobulkrhoverdadeira
Então:
phi = 1 - 9801500 = 1 - 0,6533 approx 0,3467
Ou seja, a fração de vazios é aproximadamente 34,67%.

Passo 4

Resposta a) A fração de vazios do leito é aproximadamente 34,67%.

Passo 5

b) Superfície específica de uma partícula
A superfície específica ( Sp) é a área superficial por unidade de massa da partícula. Para partículas cúbicas, a área superficial ( A) de um cubo com lado a é:
A = 6a^2
E a massa ( m) da partícula é:
m = rhoverdadeira times V = rhoverdadeira times a^3
Então, a superfície específica é:
Sp = Am = 6a^2rhoverdadeira a^3 = 6rhoverdadeira a

Passo 6

Vamos calcular com a = 0,020 m e rhoverdadeira = 1500 kg/m³:
Sp = 61500 times 0,020 = 630 = 0,2 m^2/kg

Passo 7

Resposta b) A superfície específica de uma partícula é 0,2 m²/kg.

Passo 8

c) Superfície específica do leito
A superfície específica do leito ( S) é a área superficial total por unidade de volume do leito. A fórmula é:
S = Sp times rhobulk1 - phi
Usamos a fração de vazios phi = 0,3467 e rhobulk = 980 kg/m³.

Passo 9

Aplicando os valores:
S = 0,2 m^2/kg times 980 kg/m^31 - 0,3467 = 1960,6533 approx 300 m^2/m^3

Passo 10

Resposta c) A superfície específica do leito é aproximadamente 300 m²/m³.

Passo 11

d) Diâmetro efetivo de cada partícula ( phi cdot Dp)
O diâmetro efetivo multiplicado pela porosidade é simplesmente:
phi cdot Dp = 0,3467 times 0,020 m = 0,00693 m = 6,93 mm

Passo 12

Resposta d) O diâmetro efetivo de cada partícula é aproximadamente 6,93 mm.

Passo 13

e) Esfericidade das partículas
A esfericidade ( Psi) é uma medida de quão próximo uma partícula está de ser uma esfera perfeita. Para um cubo, a esfericidade pode ser calculada usando a fórmula:
Psi = Diâmetro de uma esfera equiva<=nteDiâmetro real da partícula ââí
Primeiro, o volume de um cubo é a^3, e o volume de uma esfera é pi a^36. Igualando os volumes para encontrar o diâmetro equivalente:
pi d^36 = a^3 Rightarrow d = a (6pi)^1/3
Substituindo a = 0,020 m:
d = 0,020 times (6pi)^1/3 approx 0,020 times 1,382 = 0,02764 m
Então:
Psi = 0,027640,020 approx 1,382
No entanto, como esfericidade é sempre ≤1, isso indica que a abordagem está errada. Na verdade, a esfericidade para um cubo é:
Psi = pi^1/36^1/3 approx 0,806

Passo 14

Resposta e) A esfericidade das partículas é aproximadamente 0,806.

Passo 15

f) Tipo de escoamento no leito (laminar ou turbulento)
Para determinar se o escoamento é laminar ou turbulento, usamos o número de Reynolds intersticial ( Rei):
Rei = rho cdot u cdot Dpmu
Onde:
  • rho = 1000 kg/m³
  • u = 0,02 m/s (convertendo 2 cm/s)
  • Dp = 0,020 m
  • mu = 1 times 10^-3 Pa·s
Se Rei < 10, o escoamento é laminar; se Rei > 1000, é turbulento; entre 10 e 1000, é de transição.

Passo 16

Calculando:
Rei = 1000 times 0,02 times 0,0200,001 = 0,40,001 = 400
Como 400 está entre 10 e 1000, o escoamento está na zona de transição.

Passo 17

Resposta f) O escoamento no leito está na zona de transição entre laminar e turbulento.

Passo 18

g) Velocidade intersticial da água no leito
A velocidade intersticial ( ui) é a velocidade do fluido através dos vazios do leito e está relacionada à velocidade superficial ( u) pela porosidade:
ui = uphi
Onde u = 0,02 m/s e phi = 0,3467.

Passo 19

Calculando:
ui = 0,020,3467 approx 0,0577 m/s

Passo 20

Resposta g) A velocidade intersticial da água no leito é aproximadamente 0,0577 m/s.

Passo 21

h) Permeabilidade do leito, conforme Ergun ( kErgun)
A permeabilidade de Ergun é dada por:
kErgun = Dp^2 cdot phi^3150 cdot (1 - phi)^2
Onde Dp = 0,020 m e phi = 0,3467.

Passo 22

Calculando:
kErgun = (0,020)^2 times (0,3467)^3150 times (1 - 0,3467)^2 = 0,0004 times 0,0416150 times 0,428^2 approx 0,00001664150 times 0,183 approx 0,0000166427,45 approx 6,07 times 10^-7 m^2

Passo 23

Resposta h) A permeabilidade do leito, conforme Ergun, é aproximadamente 6,07 times 10^-7 m^2.

Passo 24

i) Queda de pressão no leito pela equação de Ergun
A equação de Ergun para a queda de pressão ( De) é:
De
Onde:
  • L = 1,3 m
  • mu = 1 times 10^-3 Pa·s
  • u = 0,02 m/s
  • rho = 1000 kg/m³
  • phi = 0,3467
  • Dp = 0,020 m

Passo 25

Calculando cada termo separadamente:
Primeiro termo (viscosa):
De
Calculando os fatores:
(1 - 0,3467)^2 = 0,428^2 approx 0,183
0,3467^3 approx 0,0416
0,001 times 1,3 times 0,020,0004 = 0,0000260,0004 = 0,065
Então:
De
Segundo termo (inercial):
De
Calculando:
1 - 0,3467 = 0,6533
1,75 times 0,65330,0416 approx 1,1410,0416 approx 27,44
1000 times 1,3 times 0,0004 = 0,52
Então:
De

Passo 26

Somando os dois termos:
De

Passo 27

Resposta i) A queda de pressão no leito é aproximadamente 57,2 Pa.

Resposta

As respostas para cada item do exercício são:
a) Fração de vazios: 34,67%
b) Superfície específica da partícula: 0,2 m²/kg
c) Superfície específica do leito: 300 m²/m³
d) Diâmetro efetivo das partículas: 6,93 mm
e) Esfericidade das partículas: 0,806
f) Escoamento no leito: Zona de transição entre laminar e turbulento
g) Velocidade intersticial: 0,0577 m/s
h) Permeabilidade do leito ( kErgun): 6,07 times 10^-7 m²²
i) Queda de pressão no leito: 57,2 Pa

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