Lembre que ln (1+x)=sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1.
(b) Seja f(x)=x^4 ln (1+9 x^2). Obtenha:
5) a derivada f^(36)(0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa encontrar a 36ª derivada dessa função avaliando em , ou seja, . Vamos usar séries de potências e propriedades de derivadas para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, lembra da série de Taylor para ln(1 + x) = sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k , que é válida para ln(1 + 9x^2) = sumk=1^infty (-1)^k+1k (9x^2)^k = sumk=1^infty (-1)^k+1 9^kk x^2k :
No nosso caso, temos , então vamos substituir por na série:

Passo 3

Agora, multiplicamos essa série por f(x) = x^4 ln(1 + 9x^2) = x^4 sumk=1^infty (-1)^k+1 9^kk x^2k = sumk=1^infty (-1)^k+1 9^kk x^2k + 4 para obter a expressão completa da função :

Passo 4

Para encontrar a 36ª derivada de 2k + 4 = 36 implies 2k = 32 implies k = 16 em 0, (-1)^16+1 9^1616 x^36 = (-1)^17 9^1616 x^36 = -9^1616 x^36 , usamos a propriedade de que a derivada -ésima de em 0 é . Portanto, precisamos identificar o termo da s��rie que tem .
Vamos igualar o expoente:
Então, o termo que contribui para é quando :

Passo 5

Aplicando a propriedade da derivada, temos:
f^(36)(0) = 36! times -9^1616

Resposta

f^(36)(0) = -36! times 9^1616

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