Sabendo que o raio convergência da série de potências
é
, determine o intervalo de convergência dessa série
Passo 1
Vamos resolver um exercício de séries de potências. O enunciado nos diz que a série
tem raio de convergência
. Precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, identificamos o centro da série de potências. A expressão
indica que a série está centrada em
.
Passo 3
Sabemos que o raio de convergência
nos dá a distância em que a série converge ao redor do centro. Com
, isso significa que a série converge para valores de
que estão a até 2 unidades de distância de 3.
Passo 4
Calculamos os limites do intervalo de convergência usando o raio de convergência:
Então, o intervalo básico de convergência é
.
Passo 5
Agora, precisamos verificar a convergência nos pontos finais
e
.
Para
:
Substituindo na série:
Substituindo na série:
Simplificando:
Esta é uma série harmônica que diverge.
Para
:
Substituindo na série:
Substituindo na série:
Simplificando:
Esta é uma série alternada harmônica, que converge pelo teste da série alternada.
Resposta
O intervalo de convergência da série é
.
Exercícios relacionados
Lembre que
, para
.
(b) Seja . Obtenha:
5) a derivada .
(b) Seja
5) a derivada
Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
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3)
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3)
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3)