Sabendo que o raio convergência da série de potências é , determine o intervalo de convergência dessa série

Passo 1

Vamos resolver um exercício de séries de potências. O enunciado nos diz que a série tem raio de convergência . Precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, identificamos o centro da série de potências. A expressão indica que a série está centrada em .

Passo 3

Sabemos que o raio de convergência nos dá a distância em que a série converge ao redor do centro. Com , isso significa que a série converge para valores de que estão a até 2 unidades de distância de 3.

Passo 4

Calculamos os limites do intervalo de convergência usando o raio de convergência:
Então, o intervalo básico de convergência é .

Passo 5

Agora, precisamos verificar a convergência nos pontos finais e .
Para :
Substituindo na série:
Simplificando:
Esta é uma série harmônica que diverge.
Para :
Substituindo na série:
Simplificando:
Esta é uma série alternada harmônica, que converge pelo teste da série alternada.

Resposta

O intervalo de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Lembre que , para .
(b) Seja . Obtenha:
5) a derivada .
Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3)