Sabendo que o raio convergência da série de potências sumk=1^infty (-1)^k3 k 2^k+2(x-3)^k é R=2, determine o intervalo de convergência dessa série

Passo 1

Vamos resolver um exercício de séries de potências. O enunciado nos diz que a série sumk=1^infty (-1)^k3 k 2^k+2(x-3)^k tem raio de convergência R=2. Precisamos determinar o intervalo de convergência dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, identificamos o centro da série de potências. A expressão (x-3)^k indica que a série está centrada em x = 3.

Passo 3

Sabemos que o raio de convergência R nos dá a distância em que a série converge ao redor do centro. Com R=2, isso significa que a série converge para valores de x que estão a até 2 unidades de distância de 3.

Passo 4

Calculamos os limites do intervalo de convergência usando o raio de convergência:
3 - R < x < 3 + R implies 3 - 2 < x < 3 + 2 implies 1 < x < 5
Então, o intervalo básico de convergência é 1 < x < 5.

Passo 5

Agora, precisamos verificar a convergência nos pontos finais x=1 e x=5.
Para x = 1:
Substituindo na série:
sumk=1^infty (-1)^k3 k 2^k+2(1-3)^k = sumk=1^infty (-1)^k3 k 2^k+2(-2)^k = sumk=1^infty (-1)^k (-2)^k3 k 2^k+2
Simplificando:
sumk=1^infty (2)^k3 k 2^k+2 = sumk=1^infty 13 k 2^2 = sumk=1^infty 112 k
Esta é uma série harmônica que diverge.
Para x = 5:
Substituindo na série:
sumk=1^infty (-1)^k3 k 2^k+2(5-3)^k = sumk=1^infty (-1)^k3 k 2^k+2(2)^k = sumk=1^infty (-1)^k 2^k3 k 2^k+2
Simplificando:
sumk=1^infty (-1)^k3 k 2^2 = sumk=1^infty (-1)^k12 k
Esta é uma série alternada harmônica, que converge pelo teste da série alternada.

Resposta

O intervalo de convergência da série é 1 < x <= 5.

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