Lembre que ln (1+x)=sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3) sumk=2^infty (-1)^k+1k 3^k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a soma da série infinita
sumk=2^infty (-1)^k+1k cdot 3^k
Aqui, estamos lidando com séries numéricas que convergem, e para resolver, vamos usar a expansão da função logarítmica natural que você mencionou:
ln (1+x) = sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1 < x <= 1

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a série que queremos somar para que ela fique parecida com a expansão da ln(1+x). Observe que na nossa série, temos uma divisão adicional por sumk=2^infty (-1)^k+1k cdot 3^k = sumk=2^infty (-1)^k+1k (13)^k, então podemos reescrever a série da seguinte forma:
Isso se assemelha bastante à série da ln(1+x), onde .

Passo 3

Sabemos que:
ln (1 + 13) = sumk=1^infty (-1)^k+1k (13)^k
Vamos calcular esse valor primeiro:
ln (43) = sumk=1^infty (-1)^k+1k cdot 3^k

Passo 4

Agora, nossa série começa em sumk=2^infty (-1)^k+1k cdot 3^k = ln (43) - (-1)^1+11 cdot 3^1, então precisamos subtrair o termo quando (-1)^21 cdot 3 = 13 dessa soma:
Simplificando o termo subtraído:

Passo 5

Então, substituindo de volta:
sumk=2^infty (-1)^k+1k cdot 3^k = ln (43) - 13

Resposta

A soma da série é
ln (43) - 13

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