Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a soma da série infinita
Aqui, estamos lidando com séries numéricas que convergem, e para resolver, vamos usar a expansão da função logarítmica natural que você mencionou:

Passo 2

Primeiro, vamos ajustar a série que queremos somar para que ela fique parecida com a expansão da ln(1+x). Observe que na nossa série, temos uma divisão adicional por , então podemos reescrever a série da seguinte forma:
Isso se assemelha bastante à série da ln(1+x), onde .

Passo 3

Sabemos que:
Vamos calcular esse valor primeiro:

Passo 4

Agora, nossa série começa em , então precisamos subtrair o termo quando dessa soma:
Simplificando o termo subtraído:

Passo 5

Então, substituindo de volta:

Resposta

A soma da série é

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Observe que e lembre que , para .
(a) Obtenha a série de Maclaurin da função e o seu intervalo de convergência.
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
4)
Lembre que , para .
(b) Seja . Obtenha:
5) a derivada .
Sabendo que o raio convergência da série de potências é , determine o intervalo de convergência dessa série