Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
3)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a soma da série infinita
Aqui, estamos lidando com séries numéricas que convergem, e para resolver, vamos usar a expansão da função logarítmica natural que você mencionou:
Passo 2
Primeiro, vamos ajustar a série que queremos somar para que ela fique parecida com a expansão da ln(1+x). Observe que na nossa série, temos uma divisão adicional por
, então podemos reescrever a série da seguinte forma:
Isso se assemelha bastante à série da ln(1+x), onde
.
Passo 3
Sabemos que:
Vamos calcular esse valor primeiro:
Passo 4
Agora, nossa série começa em
, então precisamos subtrair o termo quando
dessa soma:
Simplificando o termo subtraído:
Passo 5
Então, substituindo de volta:
Resposta
A soma da série é