Lembre que sen x=sumk=0^infty (-1)^k(2 k+1)! x^2 k+1, qualquer que seja x.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
  1. sumk=0^infty (-1)^k pi^2 k+12^2 k+1(2 k+1)!

Passo 1

Então, o exercício pede para a gente encontrar o valor da soma de uma série numérica específica. A matéria que vamos usar aqui é a expansão em série de Taylor da função seno. Para resolver, a gente vai precisar entender essa série e como aplicá-la para calcular a soma da série dada.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da fórmula da série de Taylor para o seno de um ângulo sen(x) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 :
Essa série nos permite calcular o valor do seno para qualquer valor de .

Passo 3

Agora, vamos analisar a série que queremos somar:
sumk=0^infty (-1)^k pi^2k+12^2k+1(2k+1)!
Podemos reescrever isso como:
sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi2 )^2k+1
Perceba que isso se parece muito com a série de Taylor do seno que vimos antes, onde .

Passo 4

Substituindo sen( pi2 ) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! ( pi2 )^2k+1 na série do seno, temos:
Comparando com a série que queremos somar, vemos que são exatamente iguais.

Passo 5

Sabemos que:
Portanto, a soma da série dada é igual a 1.

Resposta

1

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