Lembre que sen x=sumk=0^infty (-1)^k(2 k+1)! x^2 k+1, qualquer que seja x.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3) sumk=0^infty (-1)^k pi^2 k+1 2^2 k+1(2 k+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para encontrar o valor da soma da série numérica . Para resolver isso, vamos utilizar a série de Taylor da função seno, que é o conteúdo principal aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a série de Taylor do seno. Sabemos que:
Isso significa que, se substituirmos sen x = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! x^2k+1 por algum valor específico, a série representará o seno desse valor.

Passo 3

Agora, observe a nossa série:
sumk=0^infty (-1)^k pi^2k+1 2^2k+1(2k+1)!
Podemos reescrever sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! (2pi)^2k+1 como , mas de fato, podemos juntar e para formar . Então, a série fica:
Isso se assemelha exatamente à série de Taylor do seno, onde .

Passo 4

Então, aplicando a série do seno com sen(2pi) = sumk=0^infty (-1)^k(2k+1)! (2pi)^2k+1 , temos:
Sabemos que é igual a zero, porque o seno de qualquer múltiplo inteiro de é zero.

Resposta

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