Lembre que ln (1+x)=sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k, para -1.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
  1. sumk=1^infty (-1)^k+1k

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita . Essa é uma série alternada e está relacionada com a expansão da função logarítmica natural . Para resolver, vamos usar essa relação e substituir um valor adequado para .

Passo 2

A série dada é semelhante à expansão em série de Taylor de ln(1+x) = sumk=1^infty (-1)^k+1k x^k , que é válida para :

Passo 3

Na série que queremos calcular, temos apenas os termos ln(1+1) = sumk=1^infty (-1)^k+1k cdot 1^k . Isso corresponde ao caso em que . Então, vamos substituir na expansão:

Passo 4

Simplificando, ln(2) = sumk=1^infty (-1)^k+1k para qualquer valor de . Assim, a equação fica:

Resposta

Portanto, a soma da série é .

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