Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular a soma da série infinita . Essa é uma série alternada e está relacionada com a expansão da função logarítmica natural . Para resolver, vamos usar essa relação e substituir um valor adequado para .

Passo 2

A série dada é semelhante à expansão em série de Taylor de , que é válida para :

Passo 3

Na série que queremos calcular, temos apenas os termos . Isso corresponde ao caso em que . Então, vamos substituir na expansão:

Passo 4

Simplificando, para qualquer valor de . Assim, a equação fica:

Resposta

Portanto, a soma da série é .

Exercícios relacionados

Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
3)
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
Lembre que , para .
(b) Seja . Obtenha:
6) a série de Maclaurin de . Apresente o raio de convergência dessa série.
Lembre que , para .
(b) Seja . Obtenha:
4) a série de Maclaurin de , bem como o maior intervalo aberto em que é representada por essa série.