Suponha que as séries de potências sum bk(x-3)^k e sum ck(x-3)^k têm raios de convergência R=4 e R=6, respectivamente.
© O raio de convergência da série sum(bk+ck)(x-3)^k é
() R=0 () R=infty () R=6 () R=4 () 4

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries de potências centradas em :
  1. com raio de convergência .
  2. com raio de convergência .
O que queremos descobrir é qual será o raio de convergência da soma dessas duas séries, ou seja, da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e seus raios de convergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o raio de convergência de uma série de potências é a distância a partir do centro da série ( neste caso) onde a série começa a divergir. Para a série , essa distância é 4, e para , é 6.
Quando somamos duas séries de potências com o mesmo centro, o raio de convergência da soma não pode ser menor que o menor dos raios individuais. Isso acontece porque, dentro desse intervalo menor, ambas as séries originais convergem, garantindo que a soma também converga.

Passo 3

Então, no nosso caso, o menor raio de convergência entre as duas séries é 4. Isso significa que a série resultante terá, no mínimo, um raio de convergência de 4. É possível que esse raio seja maior, mas sem informações adicionais sobre os coeficientes e , não podemos afirmar que seria 6 ou infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é .

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