Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
© O raio de convergência da série
é
© O raio de convergência da série
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries de potências centradas em
:
-
com raio de convergência . -
com raio de convergência .
O que queremos descobrir é qual será o raio de convergência da soma dessas duas séries, ou seja, da série
. Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e seus raios de convergência.
Passo 2
Primeiro, precisamos lembrar que o raio de convergência de uma série de potências é a distância a partir do centro da série (
neste caso) onde a série começa a divergir. Para a série
, essa distância é 4, e para
, é 6.
Quando somamos duas séries de potências com o mesmo centro, o raio de convergência da soma não pode ser menor que o menor dos raios individuais. Isso acontece porque, dentro desse intervalo menor, ambas as séries originais convergem, garantindo que a soma também converga.
Passo 3
Então, no nosso caso, o menor raio de convergência entre as duas séries é 4. Isso significa que a série resultante
terá, no mínimo, um raio de convergência de 4. É possível que esse raio seja maior, mas sem informações adicionais sobre os coeficientes
e
, não podemos afirmar que seria 6 ou infinito.
Resposta
O raio de convergência da série
é
.
Exercícios relacionados
Suponha que as séries de potências
e
têm raios de convergência
e
, respectivamente.
(b) Marque com um as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se
, a série
( ) C ( ) D ( ) I
(b) Marque com um
(4 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso nas afirmações abaixo.
( ) A equação representa um cone.
( ) A seção e o traço
da superfície de equação
são, respectivamente,
e
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva para
é
( ) O domínio da função é o conjunto
.
( ) A equação
( ) A seção
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva
( ) O domínio da função
Lembre que sen
, qualquer que seja
.
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)
Lembre que
, para
.
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)