Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
© O raio de convergência da série é

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas séries de potências centradas em :
  1. com raio de convergência .
  2. com raio de convergência .
O que queremos descobrir é qual será o raio de convergência da soma dessas duas séries, ou seja, da série . Para isso, vamos usar conceitos de séries de potências e seus raios de convergência.

Passo 2

Primeiro, precisamos lembrar que o raio de convergência de uma série de potências é a distância a partir do centro da série ( neste caso) onde a série começa a divergir. Para a série , essa distância é 4, e para , é 6.
Quando somamos duas séries de potências com o mesmo centro, o raio de convergência da soma não pode ser menor que o menor dos raios individuais. Isso acontece porque, dentro desse intervalo menor, ambas as séries originais convergem, garantindo que a soma também converga.

Passo 3

Então, no nosso caso, o menor raio de convergência entre as duas séries é 4. Isso significa que a série resultante terá, no mínimo, um raio de convergência de 4. É possível que esse raio seja maior, mas sem informações adicionais sobre os coeficientes e , não podemos afirmar que seria 6 ou infinito.

Resposta

O raio de convergência da série é .

Exercícios relacionados

Suponha que as séries de potências e têm raios de convergência e , respectivamente.
(b) Marque com um as alternativas corretas, em que C, D e I indicam 2) Se , a série ( ) C ( ) D ( ) I
(4 pontos) Marque V para verdadeiro e F para falso nas afirmações abaixo.
( ) A equação representa um cone.
( ) A seção e o traço da superfície de equação são, respectivamente, e
( ) A integral que representa o comprimento de arco da curva para é
( ) O domínio da função é o conjunto .
Lembre que sen , qualquer que seja .
(a) Encontre o valor da soma de cada uma das séries numéricas dadas.
2)
Lembre que , para .
(a) Calcule a soma das seguintes séries numéricas convergentes:
2)