A lente de projeção em certo projetor de slides é uma delgada simples. Um slide de 2 4 , 0 m m de altura será projetado de forma que a imagem preencha uma tela de 1 , 8 0 m de altura. A distância do slide para a tela é de 3 , 0 0 m. (a) Determine a distância focal da lente de projeção. (b) A que distância do slide a lente do projetor deve ser colocada para que a imagem se forme na tela?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um problema de óptica, mais especificamente sobre lentes delgadas. A gente vai precisar entender como uma lente projeta uma imagem ampliada numa tela. Vamos usar fórmulas de ampliação e da equação das lentes para achar a distância focal e a posição da lente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente tem:
  • Altura do slide (objeto):
  • Altura da imagem na tela: (converti para mm para facilitar)
  • Distância entre o slide e a tela:
Queremos encontrar:
a) Distância focal da lente ( )
b) Distância do objeto à lente ( )

Passo 3

Vamos começar encontrando a ampliação ( A = hiho ) da imagem. A ampliação é dada pela relação entre a altura da imagem ( ) e a altura do objeto ( ):

Passo 4

Substituindo os valores:
A = 1800 , mm24,0 , mm = 75
Isso significa que a imagem é 75 vezes maior que o objeto.

Passo 5

Sabemos que a ampliação também está relacionada às distâncias do objeto ( A = dido ) e da imagem ( do + di = 3000 , mm ) em relação à lente:
Como a distância total entre o objeto e a imagem é 3000 mm, podemos escrever:

Passo 6

Vamos usar a relação da ampliação para expressar di = A cdot do = 75 cdot do em termos de :

Passo 7

Substituindo do + 75 cdot do = 3000 na equação 76 cdot do = 3000 :
do = 300076 approx 39,47 , mm

Passo 8

Agora que temos di = 75 cdot 39,47 approx 2960,53 , mm , podemos encontrar :

Passo 9

Com 1f = 1do + 1di e , podemos usar a equação das lentes:

Passo 10

Substituindo os valores de 1f = 139,47 + 12960,53 e 1f approx 0,02536 + 0,000338 approx 0,02570 :
f approx 10,02570 approx 38,91 , mm

Passo 11

Portanto, a distância focal da lente é aproximadamente 38,91 mm.

Resposta

a) A distância focal da lente de projeção é aproximadamente .
b) A lente deve ser colocada a cerca de do slide para que a imagem se forme na tela.

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