A lente de projeção em certo projetor de slides é uma delgada simples. Um slide de de altura será projetado de forma que a imagem preencha uma tela de de altura. A distância do slide para a tela é de . (a) Determine a distância focal da lente de projeção. (b) A que distância do slide a lente do projetor deve ser colocada para que a imagem se forme na tela?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! Temos um problema de óptica, mais especificamente sobre lentes delgadas. A gente vai precisar entender como uma lente projeta uma imagem ampliada numa tela. Vamos usar fórmulas de ampliação e da equação das lentes para achar a distância focal e a posição da lente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a gente tem:
  • Altura do slide (objeto):
  • Altura da imagem na tela: (converti para mm para facilitar)
  • Distância entre o slide e a tela:
Queremos encontrar:
a) Distância focal da lente ( )
b) Distância do objeto à lente ( )

Passo 3

Vamos começar encontrando a ampliação ( ) da imagem. A ampliação é dada pela relação entre a altura da imagem ( ) e a altura do objeto ( ):

Passo 4

Substituindo os valores:
Isso significa que a imagem é 75 vezes maior que o objeto.

Passo 5

Sabemos que a ampliação também está relacionada às distâncias do objeto ( ) e da imagem ( ) em relação à lente:
Como a distância total entre o objeto e a imagem é 3000 mm, podemos escrever:

Passo 6

Vamos usar a relação da ampliação para expressar em termos de :

Passo 7

Substituindo na equação :

Passo 8

Agora que temos , podemos encontrar :

Passo 9

Com e , podemos usar a equação das lentes:

Passo 10

Substituindo os valores de e :

Passo 11

Portanto, a distância focal da lente é aproximadamente 38,91 mm.

Resposta

a) A distância focal da lente de projeção é aproximadamente .
b) A lente deve ser colocada a cerca de do slide para que a imagem se forme na tela.

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