Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(a) parábola e o eixo ox;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície de revolução e o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pela parábola e o eixo em torno do eixo . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como integração para volume e área de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a parábola cruza o eixo . Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores de onde a parábola toca o eixo .

Passo 3

Vamos resolver a equação :
Isso nos dá duas soluções:
Então, a região que vamos girar está entre e .

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume do sólido de revolução usando o método dos discos. A fórmula para o volume quando giramos em torno do eixo é:
Aqui, , e . Vamos montar a integral:

Passo 5

Vamos expandir :
Agora, a integral fica:
Calculando a integral:
Substituindo :
Calculando os valores:
Convertendo tudo para denominador comum e somando:

Resposta

O volume do sólido de revolução é unidades cúbicas.

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Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(f) curvas e ;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
© curva , retas e ;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e ;
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(e) curva de Agnesi e eixo , para ;