Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(a) parábola
e o eixo ox;
(a) parábola
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área da superfície de revolução e o volume do sólido que resulta ao girar a região limitada pela parábola
e o eixo
em torno do eixo
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo como integração para volume e área de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a parábola cruza o eixo
. Isso vai nos dar os limites de integração. Para isso, igualamos
a zero:
Resolvendo essa equação, encontramos os valores de
onde a parábola toca o eixo
.
Passo 3
Vamos resolver a equação
:
Isso nos dá duas soluções:
Então, a região que vamos girar está entre
e
.
Passo 4
Agora, vamos calcular o volume do sólido de revolução usando o método dos discos. A fórmula para o volume
quando giramos em torno do eixo
é:
Aqui,
,
e
. Vamos montar a integral:
Passo 5
Vamos expandir
:
Agora, a integral fica:
Calculando a integral:
Substituindo
:
Calculando os valores:
Convertendo tudo para denominador comum e somando:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(f) curvas e
;
(f) curvas
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
© curva , retas
e
;
© curva
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e
;
(d) curva
Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(e) curva de Agnesi e eixo
, para
;
(e) curva de Agnesi