Levando-se em conta estes resultados determine área-da superf’cie de revolução-e o volume do sólido de revolução determinados pela rotação da região dada em torno de cada um dos eixos coordenados:
(d) curva , eixo ox e ;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a área de superfície de revolução e o volume do sólido de revolução gerados pela rotação da curva em torno do eixo (eixo x) entre e .
Para isso, vamos usar fórmulas de cálculo integral que nos ajudam a calcular áreas e volumes gerados por rotações de curvas. Precisaremos lembrar como aplicar essas fórmulas e fazer algumas integrações.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o volume do sólido de revolução. A fórmula para o volume quando rotacionamos uma curva em torno do eixo é:
No nosso caso, , e . Então, a expressão fica:
Passo 3
Agora, vamos simplificar a integral. Sabemos que:
Então, substituindo na integral:
Vamos integrar termo a termo:
Sabemos que a integral de é e a integral de 1 é . Assim:
Calculando os limites:
Sabemos que e . Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da superfície de revolução. A fórmula para a área quando rotacionamos uma curva em torno do eixo é:
No nosso caso, , então vamos precisar calcular a derivada .
Passo 5
Calculando a derivada de :
Agora, substituindo na fórmula da área:
Essa integral é mais complicada e geralmente não possui uma solução elementar simples. Portanto, para obter o valor numérico, precisaríamos usar métodos de integração numérica ou uma calculadora avançada. Mas, para fins de estudo, reconhecemos que a expressão da área é essa integral.
Resposta
O volume do sólido de revolução é e a área da superfície de revolução é dada pela integral .