Para ligas de dois metais hipotéticos A e B, existe uma fase alpha, rica em A , e uma fase beta, rica em B. A partir das frações mássicas de ambas as fases para duas ligas diferentes, dadas na tabela a seguir (e que estão na mesma temperatura), determine a composição da fronteira entre as fases (ou o limite de solubilidade) tanto para fase alpha quanto para a beta nessa temperatura.
Composição da Liga Fração da fase alpha Fração da Fase beta
60 % p A-40 %p B 0,57 0,43
30 % p A-70 %p B 0,14 0,86

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos duas ligas feitas de metais hipotéticos A e B. Essas ligas possuem duas fases diferentes: a fase alpha, que é rica em A, e a fase beta, que é rica em B. A tabela nos dá as frações mássicas de cada fase para duas composições de ligas diferentes na mesma temperatura. Nosso objetivo é descobrir a composição da fronteira entre as fases alpha e beta, ou seja, os limites de solubilidade para cada fase nessa temperatura. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da alavanca, que nos ajuda a relacionar as frações das fases com as composições das ligas.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as informações que temos na tabela de forma matemática. Temos duas composições de ligas e as respectivas frações das fases alpha e beta:
Para a liga com 60% de A e 40% de B:
60 = 0,57 cdot xalpha + 0,43 cdot xbeta
Para a liga com 30% de A e 70% de B:
30 = 0,14 cdot xalpha + 0,86 cdot xbeta
Aqui, alpha é a porcentagem de A na fase beta e é a porcentagem de A na fase .

Passo 3

Agora temos um sistema de duas equações com duas incógnitas. Vamos resolver esse sistema para encontrar 0,14 cdot xalpha = 30 - 0,86 cdot xbeta e xalpha = 30 - 0,86 cdot xbeta0,14 . Podemos usar o método da substituição ou da eliminação. Vou optar pela substituição para deixar mais claro.
Primeiro, vamos isolar xalpha = 214,2857 - 6,1429 cdot xbeta na segunda equação:

Passo 4

Agora que temos 60 = 0,57 cdot (214,2857 - 6,1429 cdot xbeta) + 0,43 cdot xbeta em termos de 60 = 122,8571 - 3,5 cdot xbeta + 0,43 cdot xbeta , vamos substituir essa expressão na primeira equação:
60 = 122,8571 - 3,07 cdot xbeta

Passo 5

Agora, vamos resolver para -3,07 cdot xbeta = 60 - 122,8571 :
-3,07 cdot xbeta = -62,8571
xbeta = -62,8571-3,07
xbeta approx 20,5%

Passo 6

Com o valor de xalpha = 214,2857 - 6,1429 cdot 20,5 , podemos encontrar xalpha = 214,2857 - 125,7145 usando a expressão que obtivemos anteriormente:
xalpha approx 88,57%

Resposta

A composição da fronteira entre as fases na temperatura considerada é aproximadamente alpha de A para a fase beta e de A para a fase .

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