Se lim x a f(x) e lim x a g(x) não existem, então lim x a[f(x)+g(x)] não existe.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! O enunciado diz que se os limites de duas funções, f(x) e g(x), quando x se aproxima de a não existem, então o limite da soma delas, f(x) + g(x), também não existe. Isso está dentro do tópico de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma função e como os limites interagem quando somamos funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função. O limite de f(x) quando x se aproxima de a, escrito como limx to a f(x), é o valor que f(x) se aproxima à medida que x fica cada vez mais próximo de a. Se esse valor não existe, isso pode significar que f(x) cresce sem limite, oscila sem parar, ou de alguma forma não se aproxima de nenhum número específico.

Passo 3

Agora, vamos pensar no que acontece quando somamos duas funções cujos limites não existem. O enunciado sugere que a soma também não teria limite. Mas será que isso é sempre verdade? Para descobrir, vamos tentar encontrar um exemplo onde os limites individuais não existem, mas a soma tem um limite que existe.

Passo 4

Vamos considerar as seguintes funções:
  • f(x) = sin(1x)
  • g(x) = -sin(1x)
Quando x se aproxima de 0, 1x cresce sem limite, e o seno de um número que cresce sem limite oscila entre -1 e 1. Portanto, tanto limx to 0 f(x) quanto limx to 0 g(x) não existem porque as funções continuam oscilando sem se aproximar de um valor específico.

Passo 5

Agora, somando as duas funções:
f(x) + g(x) = sin(1x) - sin(1x) = 0
Independente do valor de x (exceto em x = 0, onde as funções não estão definidas), a soma sempre será 0. Portanto, o limite da soma é:
limx to 0 [f(x) + g(x)] = limx to 0 0 = 0

Resposta

O enunciado não é sempre verdadeiro. Mesmo que os limites de f(x) e g(x) não existam, a soma f(x) + g(x) pode ter um limite que existe, como mostrado no exemplo acima, onde a soma resultou em 0.

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