Se
e
não existem, então
não existe.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nessa questão! O enunciado diz que se os limites de duas funções,
e
, quando
se aproxima de
não existem, então o limite da soma delas,
, também não existe. Isso está dentro do tópico de Cálculo de Limites. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa o limite de uma função e como os limites interagem quando somamos funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o limite de uma função. O limite de
quando
se aproxima de
, escrito como
, é o valor que
se aproxima à medida que
fica cada vez mais próximo de
. Se esse valor não existe, isso pode significar que
cresce sem limite, oscila sem parar, ou de alguma forma não se aproxima de nenhum número específico.
Passo 3
Agora, vamos pensar no que acontece quando somamos duas funções cujos limites não existem. O enunciado sugere que a soma também não teria limite. Mas será que isso é sempre verdade? Para descobrir, vamos tentar encontrar um exemplo onde os limites individuais não existem, mas a soma tem um limite que existe.
Passo 4
Vamos considerar as seguintes funções:
Quando
se aproxima de
,
cresce sem limite, e o seno de um número que cresce sem limite oscila entre
e
. Portanto, tanto
quanto
não existem porque as funções continuam oscilando sem se aproximar de um valor específico.
Passo 5
Agora, somando as duas funções:
Independente do valor de
(exceto em
, onde as funções não estão definidas), a soma sempre será
. Portanto, o limite da soma é:
Resposta
O enunciado não é sempre verdadeiro. Mesmo que os limites de
e
não existam, a soma
pode ter um limite que existe, como mostrado no exemplo acima, onde a soma resultou em
.
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Se
, então
não existe.
Se
existe mas
não existe, então
não existe.
Se
e
, então
não existe.