lim n infty 1+5^n4-3^n

Passo 1

Vamos resolver o limite . Esse exercício pertence ao conteúdo de Limites em Sequências, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como as potências com expoentes grandes se comportam à medida que cresce. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos analisar quais termos da expressão vão “dominar” quando fica muito grande. Em outras palavras, vamos ver quais termos crescem mais rápido.

Passo 3

Observe que e são termos exponenciais, e como , sabemos que cresce mais rapidamente que conforme aumenta. Portanto, para valores grandes de , o termo no numerador e o termo no denominador se tornam praticamente insignificantes comparados a e , respectivamente.

Passo 4

Simplificamos a expressão considerando apenas os termos que mais crescem:
1 + 5^n4 - 3^n approx 5^n-3^n
Aqui, o aproxima-se de porque é muito maior que .

Passo 5

Agora, simplificamos a fração:
5^n-3^n = -(53)^n
Isso acontece porque dividido por é igual a , e o sinal negativo vem do denominador.

Passo 6

Vamos analisar o limite de quando tende ao infinito. Como , a expressão cresce sem limites à medida que aumenta.

Passo 7

Portanto, tende para quando vai para o infinito.

Resposta

limn infty 1 + 5^n4 - 3^n = -infty

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