Passo 1
Vamos resolver o limite
. Esse exercício pertence ao conteúdo de Limites em Sequências, e para resolvê-lo, vamos precisar entender como as potências com expoentes grandes se comportam à medida que
cresce. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos analisar quais termos da expressão
vão “dominar” quando
fica muito grande. Em outras palavras, vamos ver quais termos crescem mais rápido.
Passo 3
Observe que
e
são termos exponenciais, e como
, sabemos que
cresce mais rapidamente que
conforme
aumenta. Portanto, para valores grandes de
, o termo
no numerador e o termo
no denominador se tornam praticamente insignificantes comparados a
e
, respectivamente.
Passo 4
Simplificamos a expressão considerando apenas os termos que mais crescem:
Aqui, o
aproxima-se de
porque
é muito maior que
.
Passo 5
Agora, simplificamos a fração:
Isso acontece porque
dividido por
é igual a
, e o sinal negativo vem do denominador.
Passo 6
Vamos analisar o limite de
quando
tende ao infinito. Como
, a expressão
cresce sem limites à medida que
aumenta.
Passo 7
Portanto,
tende para
quando
vai para o infinito.
Resposta
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Demonstre as seguintes identidades trigonométricas:
(h)
(h)