(a) lim n infty 1n sumk=1^n(kn)^2=13;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando vai para o infinito da soma . Isso está relacionado ao cálculo de limites e ao uso de somas de Riemann, que ajudam a transformar somas em integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma soma de Riemann. É uma maneira de aproximar a área sob uma curva usando retângulos. No nosso caso, a soma está aproximando a integral de no intervalo de 0 a 1.

Passo 3

Agora, vamos relacionar a soma com a integral. À medida que limn to infty 1n sumk=1^n f(kn) = integral0^1 f(x) , dx cresce, os retângulos ficam mais finos e a soma se aproxima cada vez mais da integral. A fórmula geral para isso é:
No nosso caso, .

Passo 4

Vamos calcular a integral de integral0^1 x^2 , dx = [ x^33 ]0^1 = 1^33 - 0^33 = 13 de 0 a 1:

Resposta

O limite é .

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