(a) Se uma sequência tem uma subsequência que não converge então a própria sequência não converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências e subsequências. A afirmação diz que se uma sequência tem uma subsequência que não converge, então a própria sequência não converge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência e uma subsequência convergirem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência
converge para um limite
se, conforme os índices
vão para o infinito, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de
. Em linguagem matemática, isso significa:
Ou seja, para qualquer número pequeno
, existe um número
tal que para todo
, a distância entre
e
é menor que
:
Passo 3
Agora, uma subsequência é apenas uma sequência que você forma pegando alguns termos da sequência original, mantendo a ordem. Se a sequência original
converge para
, qualquer subsequência dela também vai convergir para o mesmo
. Isso porque os termos da subsequência ainda ficam cada vez mais próximos de
conforme avançamos.
Passo 4
Vamos voltar ao enunciado: se existe uma subsequência que não converge, o que isso significa para a sequência original? Bem, se a sequência original convergisse para algum limite
, todas as suas subsequências também teriam que convergir para
. Mas o enunciado diz que tem uma subsequência que não converge, ou seja, não chega a um limite específico. Isso contraria a ideia de que a sequência original converge, pois todas as suas subsequências deveriam seguir para o mesmo
.
Resposta
Então, concluímos que se uma sequência tem uma subsequência que não converge, a própria sequência não converge.
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.
(a)
(a) Mostre que
é monótona decrescente e que
.