(a) Se uma sequência tem uma subsequência que não converge então a própria sequência não converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre sequências e subsequências. A afirmação diz que se uma sequência tem uma subsequência que não converge, então a própria sequência não converge. Para resolver isso, vamos precisar entender o que significa uma sequência e uma subsequência convergirem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma sequência convergente. Uma sequência converge para um limite se, conforme os índices vão para o infinito, os termos da sequência ficam cada vez mais próximos de . Em linguagem matemática, isso significa:
Ou seja, para qualquer número pequeno , existe um número tal que para todo , a distância entre e é menor que :

Passo 3

Agora, uma subsequência é apenas uma sequência que você forma pegando alguns termos da sequência original, mantendo a ordem. Se a sequência original converge para , qualquer subsequência dela também vai convergir para o mesmo . Isso porque os termos da subsequência ainda ficam cada vez mais próximos de conforme avançamos.

Passo 4

Vamos voltar ao enunciado: se existe uma subsequência que não converge, o que isso significa para a sequência original? Bem, se a sequência original convergisse para algum limite , todas as suas subsequências também teriam que convergir para . Mas o enunciado diz que tem uma subsequência que não converge, ou seja, não chega a um limite específico. Isso contraria a ideia de que a sequência original converge, pois todas as suas subsequências deveriam seguir para o mesmo .

Resposta

Então, concluímos que se uma sequência tem uma subsequência que não converge, a própria sequência não converge.

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