(a) Mostre que é monótona decrescente e que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por . O que precisamos mostrar aqui é que essa sequência é monótona decrescente e que ela converge para . Para isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que para todo , já que estamos lidando com raízes quadradas. Isso faz sentido porque estamos tentando aproximar , que é positiva.

Passo 3

Agora, vamos verificar se , ou seja, se a sequência está realmente decrescendo. Calculando a diferença:

Passo 4

Para que , precisamos que . Multiplicando os dois lados por (positivo), temos:
Isso implica que , assumindo que .

Passo 5

Então, se , temos que , o que mostra que a sequência é decrescente. Além disso, como e está decrescendo, ela é limitada abaixo por .

Passo 6

Como a sequência é monótona decrescente e limitada abaixo, pelo Teorema da Monotonicidade, ela converge. Vamos chamar o limite de :
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo de ambos os lados:
Multiplicando por :
Portanto, .

Resposta

A sequência é monótona decrescente e converge para .

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(a)
(a) Se uma sequência tem uma subsequência que não converge então a própria sequência não converge.
Resolva as equações diferenciais.
Resolva os problemas de valor inicial: