(a) Mostre que
é monótona decrescente e que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos uma sequência definida por
. O que precisamos mostrar aqui é que essa sequência é monótona decrescente e que ela converge para
. Para isso, vamos usar conceitos de sequências monótonas e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que
para todo
, já que estamos lidando com raízes quadradas. Isso faz sentido porque estamos tentando aproximar
, que é positiva.
Passo 3
Agora, vamos verificar se
, ou seja, se a sequência está realmente decrescendo. Calculando a diferença:
Passo 4
Para que
, precisamos que
. Multiplicando os dois lados por
(positivo), temos:
Isso implica que
, assumindo que
.
Passo 5
Então, se
, temos que
, o que mostra que a sequência é decrescente. Além disso, como
e está decrescendo, ela é limitada abaixo por
.
Passo 6
Como a sequência é monótona decrescente e limitada abaixo, pelo Teorema da Monotonicidade, ela converge. Vamos chamar o limite de
:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Subtraindo
de ambos os lados:
Multiplicando por
:
Portanto,
.
Resposta
A sequência
é monótona decrescente e converge para
.
Exercícios relacionados
(a)
(a) Se uma sequência tem uma subsequência que não converge então a própria sequência não converge.
Resolva as equações diferenciais.
Resolva os problemas de valor inicial: