Resolva as equações diferenciais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre equações diferenciais, que fazem parte do estudo de como as funções mudam. A gente precisa resolver a equação dada:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais exatas e encontrar um fator integrante que facilite a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos multiplicar ambos os lados por
:
Isso nos dá:
Agora, identificamos as funções M(x, y) e N(x, y) na forma geral de uma equação diferencial exata:
Comparando, temos:
Passo 3
Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como
, a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.
Passo 4
Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de
. A fórmula para o fator integrante
é:
Calculando:
Então:
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, verificamos se a nova equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Agora,
, então a equação é exata!
Passo 6
Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Resolvendo para
:
Integrando
em relação a
:
Passo 8
Então, a função potencial
é:
Onde
é a constante de integração.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
é uma constante real.
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é monótona decrescente e que
.
(a)
Resolva os problemas de valor inicial:
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