Resolva as equações diferenciais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício que você trouxe é sobre equações diferenciais, que fazem parte do estudo de como as funções mudam. A gente precisa resolver a equação dada:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais exatas e encontrar um fator integrante que facilite a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise. Podemos multiplicar ambos os lados por :
Isso nos dá:
Agora, identificamos as funções M(x, y) e N(x, y) na forma geral de uma equação diferencial exata:
Comparando, temos:

Passo 3

Para verificar se a equação é exata, calculamos as derivadas parciais:
Como , a equação não é exata. Portanto, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata.

Passo 4

Vamos tentar encontrar um fator integrante que dependa apenas de . A fórmula para o fator integrante é:
Calculando:
Então:

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, verificamos se a nova equação é exata:
Calculando as derivadas parciais:
Agora, , então a equação é exata!

Passo 6

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e igualamos a :
Resolvendo para :
Integrando em relação a :

Passo 8

Então, a função potencial é:
Onde é a constante de integração.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde é uma constante real.

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