Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: a_n = 1^2/n + 2^2/n + ... + n^2/n;

Passo 1

Vamos analisar o exercício: temos a sequência e precisamos verificar se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. A soma pode ser escrita como:

Passo 3

Conhecemos a fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros números naturais:
Substituindo essa fórmula na expressão de :

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite da sequência quando tende ao infinito:
Expandindo o numerador:
Portanto, a expressão fica:

Passo 5

Para encontrar o limite, observamos os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador. Como cresce muito mais rápido que ou constantes, o comportamento da sequência é dominado por :

Resposta

A sequência diverge para infinito, ou seja, não possui um limite finito.

Exercícios relacionados