Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Passo 1
Vamos analisar o exercício: temos a sequência
e precisamos verificar se ela converge ou diverge. Se convergir, devemos encontrar o seu limite. Para isso, vamos utilizar conceitos de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da sequência. A soma
pode ser escrita como:
Passo 3
Conhecemos a fórmula para a soma dos quadrados dos primeiros
números naturais:
Substituindo essa fórmula na expressão de
:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite da sequência quando
tende ao infinito:
Expandindo o numerador:
Portanto, a expressão fica:
Passo 5
Para encontrar o limite, observamos os termos de maior grau tanto no numerador quanto no denominador. Como
cresce muito mais rápido que
ou constantes, o comportamento da sequência é dominado por
:
Resposta
A sequência diverge para infinito, ou seja, não possui um limite finito.