Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
, para
;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a sequência
converge ou diverge quando
vai para o infinito, sendo
. A matéria envolvida aqui é sobre limites de sequências e funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Vamos precisar entender como o cosseno se comporta quando o seu argumento fica bem pequeno.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que acontece com
quando
cresce sem limite. Como
está no denominador,
vai se aproximar de zero. Isso é importante porque precisamos saber como o cosseno se comporta perto de zero para simplificar a expressão.
Passo 3
Sabemos que para valores bem pequenos de
, a função cosseno pode ser aproximada pela série de Taylor:
Essa aproximação é bem útil porque facilita os cálculos sem perder muita precisão.
Passo 4
Vamos aplicar essa aproximação na nossa sequência:
Então, substituindo de volta na expressão de
:
Passo 5
Agora, analisamos o limite quando
tende ao infinito. A expressão simplificada
não depende de
, ou seja, ela é constante. Portanto, o limite da sequência
é simplesmente
.
Resposta
A sequência
converge para
quando
tende ao infinito.
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