Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: a_n = n^2 (1 - cos(a/n)), para a > 0;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente verificar se a sequência converge ou diverge quando vai para o infinito, sendo . A matéria envolvida aqui é sobre limites de sequências e funções trigonométricas, especificamente o cosseno. Vamos precisar entender como o cosseno se comporta quando o seu argumento fica bem pequeno.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que acontece com quando cresce sem limite. Como está no denominador, vai se aproximar de zero. Isso é importante porque precisamos saber como o cosseno se comporta perto de zero para simplificar a expressão.

Passo 3

Sabemos que para valores bem pequenos de , a função cosseno pode ser aproximada pela série de Taylor:
Essa aproximação é bem útil porque facilita os cálculos sem perder muita precisão.

Passo 4

Vamos aplicar essa aproximação na nossa sequência:
Então, substituindo de volta na expressão de :

Passo 5

Agora, analisamos o limite quando tende ao infinito. A expressão simplificada não depende de , ou seja, ela é constante. Portanto, o limite da sequência é simplesmente .

Resposta

A sequência converge para quando tende ao infinito.

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