Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando
tende ao infinito de
. Aqui estamos trabalhando com limites e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta a função seno e como as potências de
influenciam o resultado quando
cresce muito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos
. Sabemos que a função seno,
, sempre está entre -1 e 1, ou seja,
para qualquer valor de
. Isso significa que
também estará sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de
.
Passo 3
Agora, considerando que
está entre -1 e 1, podemos dizer que:
Multiplicando todos os lados por
, que é sempre positivo, temos:
Passo 4
Vamos agora olhar para o denominador,
. Conforme
cresce,
se torna muito maior que 1, então podemos aproximar que o denominador é aproximadamente
. Portanto, nosso limite simplificado fica entre:
Passo 5
Simplificando as frações, temos:
À medida que
tende ao infinito,
tende a zero. Então, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se a expressão está entre duas funções que tendem a zero, ela própria também tende a zero.
Resposta
Exercícios relacionados
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
, para
;
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite:
;
Seja
dada por
e
. Mostre que
e que (
é monótona crescente. Conclua que
converge e calcule
.