Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para calcular o limite quando tende ao infinito de . Aqui estamos trabalhando com limites e trigonometria. Para resolver isso, vamos precisar entender como se comporta a função seno e como as potências de influenciam o resultado quando cresce muito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador e o denominador separadamente. No numerador, temos . Sabemos que a função seno, , sempre está entre -1 e 1, ou seja, para qualquer valor de . Isso significa que também estará sempre entre -1 e 1, independentemente do valor de .

Passo 3

Agora, considerando que está entre -1 e 1, podemos dizer que:
Multiplicando todos os lados por , que é sempre positivo, temos:

Passo 4

Vamos agora olhar para o denominador, . Conforme cresce, se torna muito maior que 1, então podemos aproximar que o denominador é aproximadamente . Portanto, nosso limite simplificado fica entre:

Passo 5

Simplificando as frações, temos:
À medida que tende ao infinito, tende a zero. Então, pelo Teorema do Sanduíche (ou Teorema da Aperto), se a expressão está entre duas funções que tendem a zero, ela própria também tende a zero.

Resposta

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Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: , para ;
Verifique se as sequências abaixo convergem ou divergem. Se convergir, encontre seu limite: ;
Seja dada por e . Mostre que e que ( é monótona crescente. Conclua que converge e calcule .