lim n +infty (-2)^n3^n+1 arcsin ((-1)^nn^2+1)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando limn +infty (-2)^n3^n+1 arcsin ((-1)^nn^2+1) tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites de sequências que envolvem potências e funções trigonométricas inversas. Vamos precisar entender como cada parte dessa expressão se comporta à medida que cresce bastante.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a parte que envolve as potências:
(-2)^n3^n+1 = (-2)^n3^n cdot 3 = 13 ( -23 )^n
Aqui, simplificamos retirando o em termos de multiplicado por 3. Isso nos deixa com uma constante multiplicada por .

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento de limn +infty ( -23 )^n = 0 quando tende ao infinito. Como , sabemos que:
Isso porque qualquer número com módulo menor que 1 elevado a uma potência que tende ao infinito vai se aproximar de zero.

Passo 4

Agora, vamos olhar para a parte do arcsin ((-1)^nn^2+1) :
arcsin(x) approx x quando x é próximo de 0
À medida que arcsin ((-1)^nn^2+1) approx (-1)^nn^2+1 aumenta, o denominador também aumenta, fazendo com que a fração se aproxime de zero. Sabemos que, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a , ou seja:
éó
Portanto:

Passo 5

Agora, juntando as duas partes que simplificamos:
13 ( -23 )^n cdot (-1)^nn^2+1 = 13 cdot ( -23 cdot (-1) )^n cdot 1n^2+1 = 13 cdot ( 23 )^n cdot 1n^2+1
Aqui, combinamos os termos com e para simplificar a expressão.

Passo 6

Agora, analisamos o comportamento do produto:
( 23 )^n cdot 1n^2+1
À medida que tende ao infinito, decai exponencialmente para zero, e também tende a zero, mas de forma polinomial. A decaimento exponencial domina, então todo o produto tende a zero.

Resposta

O limite é igual a 0.

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