Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente precisa calcular o limite quando tende ao infinito da expressão:
Aqui, estamos lidando com limites de sequências que envolvem potências e funções trigonométricas inversas. Vamos precisar entender como cada parte dessa expressão se comporta à medida que cresce bastante.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a parte que envolve as potências:
Aqui, simplificamos retirando o em termos de multiplicado por 3. Isso nos deixa com uma constante multiplicada por .
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento de quando tende ao infinito. Como , sabemos que:
Isso porque qualquer número com módulo menor que 1 elevado a uma potência que tende ao infinito vai se aproximar de zero.
Passo 4
Agora, vamos olhar para a parte do arcsin ((-1)^nn^2+1) :
arcsin(x) approx x quando x é próximo de 0
À medida que arcsin ((-1)^nn^2+1) approx (-1)^nn^2+1 aumenta, o denominador também aumenta, fazendo com que a fração se aproxime de zero. Sabemos que, para valores pequenos de , é aproximadamente igual a , ou seja:
Aqui, combinamos os termos com e para simplificar a expressão.
Passo 6
Agora, analisamos o comportamento do produto:
( 23 )^n cdot 1n^2+1
À medida que tende ao infinito, decai exponencialmente para zero, e também tende a zero, mas de forma polinomial. A decaimento exponencial domina, então todo o produto tende a zero.