Se
e
para todo
suficientemente grande mostre que
.
Passo 1
Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências,
e
, que têm limite igual a
quando
vai para infinito. Além disso, temos que
para todo
suficientemente grande. O objetivo é mostrar que a sequência
também tem limite igual a
quando
vai para infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a determinar o limite de uma sequência que está “presa” entre duas outras sequências cujo limite já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que
para todo
suficientemente grande. Isso quer dizer que, depois de certo ponto na sequência, todos os termos de
estão sempre entre os termos correspondentes de
e
.
Passo 3
Sabemos que
e
. Ou seja, conforme
aumenta, tanto
quanto
se aproximam de
.
Passo 4
Agora, pelo Teorema do Confronto, se uma sequência
está sempre entre
e
a partir de certo ponto, e ambas
e
convergem para o mesmo limite
, então
também deve convergir para
.
Passo 5
Aplicando o Teorema do Confronto ao nosso caso, concluímos que:
Resposta
Portanto, mostramos que
.