Se lim n infty xn=lim n infty yn=a e xn <= zn <= yn para todo n suficientemente grande mostre que lim n infty zn=a.

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. A gente tem duas sequências, e , que têm limite igual a quando vai para infinito. Além disso, temos que para todo suficientemente grande. O objetivo é mostrar que a sequência também tem limite igual a quando vai para infinito. Para resolver isso, vamos usar o Teorema do Confronto (também conhecido como Teorema do Aperto), que nos ajuda a determinar o limite de uma sequência que está “presa” entre duas outras sequências cujo limite já conhecemos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que para todo suficientemente grande. Isso quer dizer que, depois de certo ponto na sequência, todos os termos de estão sempre entre os termos correspondentes de e .

Passo 3

Sabemos que e . Ou seja, conforme aumenta, tanto quanto se aproximam de .

Passo 4

Agora, pelo Teorema do Confronto, se uma sequência está sempre entre e a partir de certo ponto, e ambas e convergem para o mesmo limite , então também deve convergir para .

Passo 5

Aplicando o Teorema do Confronto ao nosso caso, concluímos que:
limn infty zn = a

Resposta

Portanto, mostramos que .

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