Mostre que lim n infty a^n=0, com a in R e 0.

Passo 1

Vamos resolver o limite , onde é um número real tal que . Esse problema está dentro do estudo de limites em cálculo, e vamos precisar entender como potências funcionam quando a base está entre 0 e 1.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa quando está entre 0 e 1. Cada vez que multiplicamos por ele mesmo, o resultado fica menor. Por exemplo, se , então , , e assim por diante. Isso mostra que à medida que aumenta, fica cada vez menor.

Passo 3

Agora, vamos formalizar isso usando a definição de limite. Queremos mostrar que para qualquer , existe um número tal que para todo , temos .

Passo 4

Sabemos que como , podemos escrever , onde . Então, . Quando tende ao infinito, tende a zero porque estamos multiplicando um número menor que 1 repetidamente.

Passo 5

Mais formalmente, podemos usar o logaritmo para facilitar. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos . Como , é negativo, então tende a . Assim, tende a .

Resposta

.

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