Mostre que
, com
e
.
Passo 1
Vamos resolver o limite
, onde
é um número real tal que
. Esse problema está dentro do estudo de limites em cálculo, e vamos precisar entender como potências funcionam quando a base está entre 0 e 1.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa
quando
está entre 0 e 1. Cada vez que multiplicamos
por ele mesmo, o resultado fica menor. Por exemplo, se
, então
,
, e assim por diante. Isso mostra que à medida que
aumenta,
fica cada vez menor.
Passo 3
Agora, vamos formalizar isso usando a definição de limite. Queremos mostrar que para qualquer
, existe um número
tal que para todo
, temos
.
Passo 4
Sabemos que como
, podemos escrever
, onde
. Então,
. Quando
tende ao infinito,
tende a zero porque estamos multiplicando um número menor que 1 repetidamente.
Passo 5
Mais formalmente, podemos usar o logaritmo para facilitar. Tomando o logaritmo natural dos dois lados, temos
. Como
,
é negativo, então
tende a
. Assim,
tende a
.