Seja x1>1 e xn+1=2-1xn para n >= 2. Mostre que (xn) converge e lim n infty xn.

Passo 1

Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma sequência definida por e para . Nosso objetivo é provar que essa sequência converge e encontrar o limite . Para isso, vamos usar conceitos básicos de sequências e limites.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a sequência L = 2 - 1L converge para um limite . Isso significa que, quando cresce muito, tanto quanto se aproximam de . Então, substituímos e por na fórmula da sequência:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de L cdot L = 2L - 1 . Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por L^2 = 2L - 1 para eliminar o denominador:
Ou seja:

Passo 4

Vamos rearranjar essa equação para formar uma equação quadrática padrão:
L^2 - 2L + 1 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos a equação quadrática (L - 1)^2 = 0 . Podemos fatorar essa equação:
L = 1
Isso nos dá a solução:

Passo 6

Finalmente, precisamos verificar se realmente a sequência converge para esse limite. Observando a fórmula da sequência e considerando que , podemos ver que à medida que aumenta, os termos se aproximam cada vez mais de 1.

Resposta

A sequência converge e .

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