Seja
e
para
. Mostre que
converge e
.
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma sequência definida por
e
para
. Nosso objetivo é provar que essa sequência converge e encontrar o limite
. Para isso, vamos usar conceitos básicos de sequências e limites.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a sequência
converge para um limite
. Isso significa que, quando
cresce muito, tanto
quanto
se aproximam de
. Então, substituímos
e
por
na fórmula da sequência:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
. Primeiro, multiplicamos ambos os lados da equação por
para eliminar o denominador:
Ou seja:
Passo 4
Vamos rearranjar essa equação para formar uma equação quadrática padrão:
Passo 5
Agora, resolvemos a equação quadrática
. Podemos fatorar essa equação:
Isso nos dá a solução:
Passo 6
Finalmente, precisamos verificar se realmente a sequência converge para esse limite. Observando a fórmula da sequência
e considerando que
, podemos ver que à medida que
aumenta, os termos
se aproximam cada vez mais de 1.
Resposta
A sequência
converge e
.