Se lim n infty xn=a, mostre que toda subsequência de (xn) converge para a.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela nos diz que a sequência (xn) converge para um número a, ou seja, limn infty xn = a. O conteúdo envolvido aqui são os conceitos de limite de sequência e subsequências. Precisamos mostrar que, se a sequência toda converge para a, então qualquer subsequência dela também vai convergir para a.

Passo 2

Vamos lembrar o que significa que uma sequência converge para a. Dizemos que limn infty xn = a se, para todo número pequeno epsilon > 0, existe um índice N tal que para todo n >= N, a diferença entre xn e a é menor que epsilon, ou seja:
|xn - a| < epsilon

Passo 3

Agora, uma subsequência é basicamente uma nova sequência obtida a partir da sequência original, selecionando alguns de seus termos, mas mantendo a ordem. Formalmente, se temos uma subsequência (xnk), então os índices nk formam uma sequência crescente: n1 < n2 < n3 < dots.

Passo 4

Como a sequência original (xn) converge para a, sabemos que para qualquer epsilon > 0, existe um N tal que para todo n >= N, |xn - a| < epsilon. Agora, como nk é uma subsequência, ela também tende para o infinito à medida que k aumenta. Portanto, existe um K tal que para todo k >= K, temos nk >= N.

Passo 5

Para esses valores de k >= K, como nk >= N, segue que:
|xnk - a| < epsilon
Isso mostra que a subsequência (xnk) também satisfaz a condição de convergência para a.

Resposta

Portanto, toda subsequência de (xn) converge para a.

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