Se
, mostre que toda subsequência de
converge para
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela nos diz que a sequência
converge para um número
, ou seja,
. O conteúdo envolvido aqui são os conceitos de limite de sequência e subsequências. Precisamos mostrar que, se a sequência toda converge para
, então qualquer subsequência dela também vai convergir para
.
Passo 2
Vamos lembrar o que significa que uma sequência converge para
. Dizemos que
se, para todo número pequeno
, existe um índice
tal que para todo
, a diferença entre
e
é menor que
, ou seja:
Passo 3
Agora, uma subsequência é basicamente uma nova sequência obtida a partir da sequência original, selecionando alguns de seus termos, mas mantendo a ordem. Formalmente, se temos uma subsequência
, então os índices
formam uma sequência crescente:
.
Passo 4
Como a sequência original
converge para
, sabemos que para qualquer
, existe um
tal que para todo
,
. Agora, como
é uma subsequência, ela também tende para o infinito à medida que
aumenta. Portanto, existe um
tal que para todo
, temos
.
Passo 5
Para esses valores de
, como
, segue que:
Isso mostra que a subsequência
também satisfaz a condição de convergência para
.
Resposta
Portanto, toda subsequência de
converge para
.
Exercícios relacionados
Seja
e
. Mostre que
.
Mostre que
, onde
.
Suponha que a sequência
satisfaz
para todo
e
para
. Estabeleça a convergência e encontre o seu limite.
Mostre que