Se , mostre que toda subsequência de converge para .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Ela nos diz que a sequência converge para um número , ou seja, . O conteúdo envolvido aqui são os conceitos de limite de sequência e subsequências. Precisamos mostrar que, se a sequência toda converge para , então qualquer subsequência dela também vai convergir para .

Passo 2

Vamos lembrar o que significa que uma sequência converge para . Dizemos que se, para todo número pequeno , existe um índice tal que para todo , a diferença entre e é menor que , ou seja:

Passo 3

Agora, uma subsequência é basicamente uma nova sequência obtida a partir da sequência original, selecionando alguns de seus termos, mas mantendo a ordem. Formalmente, se temos uma subsequência , então os índices formam uma sequência crescente: .

Passo 4

Como a sequência original converge para , sabemos que para qualquer , existe um tal que para todo , . Agora, como é uma subsequência, ela também tende para o infinito à medida que aumenta. Portanto, existe um tal que para todo , temos .

Passo 5

Para esses valores de , como , segue que:
Isso mostra que a subsequência também satisfaz a condição de convergência para .

Resposta

Portanto, toda subsequência de converge para .

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Seja e . Mostre que .
Mostre que , onde .
Suponha que a sequência satisfaz para todo e para . Estabeleça a convergência e encontre o seu limite.
Mostre que