Suponha que a sequência satisfaz para todo e para . Estabeleça a convergência e encontre o seu limite.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência onde cada termo está entre 0 e 1 ( ) para todo número natural . Além disso, temos que para todo . Nosso objetivo é mostrar que essa sequência realmente converge para algum valor e descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências limitadas e propriedades de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a desigualdade dada: . Queremos entender como se relaciona com . Vamos isolar :
Agora, subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (e lembrando que isso inverte a desigualdade):

Passo 3

Vamos pensar sobre isso: . Queremos encontrar uma expressão que nos ajude a identificar um comportamento para . Suponhamos que a sequência converge para um limite . Se e tendem para , então podemos substituir na desigualdade:

Passo 4

Vamos resolver essa desigualdade para encontrar . Primeiro, trazemos toda a expressão para o lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados por para eliminar o denominador:
Rearranjando:

Passo 5

Agora, temos uma inequação quadrática: . Vamos calcular o discriminante para encontrar as raízes:
Como o discriminante é zero, a equação quadrática tem uma única raiz real:

Passo 6

Com a raiz , e sabendo que a desigualdade não é satisfeita para valores de diferentes de , concluímos que a única possibilidade para o limite é:

Resposta

A sequência converge e o seu limite é .

Exercícios relacionados

Se , mostre que toda subsequência de converge para .
Seja e . Mostre que .
Mostre que
a)Se e são positivos, prove que

b)(Teorema de Stolz)

Seja uma sequência arbitrária de números reais e uma sequência crescente com . Supondo que , mostre que .