Suponha que a sequência
satisfaz
para todo
e
para
. Estabeleça a convergência e encontre o seu limite.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma sequência
onde cada termo está entre 0 e 1 (
) para todo número natural
. Além disso, temos que
para todo
. Nosso objetivo é mostrar que essa sequência realmente converge para algum valor e descobrir qual é esse limite. Para resolver isso, vamos usar conceitos de sequências limitadas e propriedades de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a desigualdade dada:
. Queremos entender como
se relaciona com
. Vamos isolar
:
Agora, subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por -1 (e lembrando que isso inverte a desigualdade):
Passo 3
Vamos pensar sobre isso:
. Queremos encontrar uma expressão que nos ajude a identificar um comportamento para
. Suponhamos que a sequência converge para um limite
. Se
e
tendem para
, então podemos substituir na desigualdade:
Passo 4
Vamos resolver essa desigualdade para encontrar
. Primeiro, trazemos toda a expressão para o lado esquerdo:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar o denominador:
Rearranjando:
Passo 5
Agora, temos uma inequação quadrática:
. Vamos calcular o discriminante para encontrar as raízes:
Como o discriminante é zero, a equação quadrática tem uma única raiz real:
Passo 6
Com a raiz
, e sabendo que a desigualdade
não é satisfeita para valores de
diferentes de
, concluímos que a única possibilidade para o limite
é:
Resposta
A sequência
converge e o seu limite é
.
Exercícios relacionados
Se
, mostre que toda subsequência de
converge para
.
Seja
e
. Mostre que
.
Mostre que
a)Se
e
são positivos, prove que
b)(Teorema de Stolz)
Seja
uma sequência arbitrária de números reais e
uma sequência crescente com
. Supondo que
, mostre que
.