Seja
e
. Mostre que
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o supremo do conjunto
é
. Aqui, estamos trabalhando com o conceito de supremum na teoria dos conjuntos numéricos reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa supremo e como identificar o menor limite superior de um conjunto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o conjunto
. Ele inclui todos os números reais
que são maiores ou iguais a 0 e cujo quadrado é menor que 2. Ou seja,
está no intervalo [0,
) porque
. Portanto,
se estende de 0 até, mas sem incluir,
.
Passo 3
O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. No nosso caso, precisamos mostrar que
é esse número para
. Primeiro, vamos verificar que
é um limite superior para
.
Passo 4
Como todos os
em
satisfazem
, fica claro que nenhum elemento de
é maior ou igual a
. Portanto,
é um limite superior de
.
Passo 5
Agora, precisamos mostrar que nenhum número menor que
pode ser um limite superior de
. Se escolhermos um número
tal que
, então sempre podemos encontrar um número
em
que está entre
e
, por exemplo,
. Isso mostra que
não pode ser um limite superior, já que existe um
em
maior que
.
Resposta
Assim, concluímos que o supremo de
é
.
Exercícios relacionados
Mostre que
, onde
.
Se
, mostre que toda subsequência de
converge para
.
Suponha que a sequência
satisfaz
para todo
e
para
. Estabeleça a convergência e encontre o seu limite.