Seja e . Mostre que .

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para mostrar que o supremo do conjunto é . Aqui, estamos trabalhando com o conceito de supremum na teoria dos conjuntos numéricos reais. Para resolver isso, precisamos entender o que significa supremo e como identificar o menor limite superior de um conjunto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o conjunto . Ele inclui todos os números reais que são maiores ou iguais a 0 e cujo quadrado é menor que 2. Ou seja, está no intervalo [0, ) porque . Portanto, se estende de 0 até, mas sem incluir, .

Passo 3

O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. No nosso caso, precisamos mostrar que é esse número para . Primeiro, vamos verificar que é um limite superior para .

Passo 4

Como todos os em satisfazem , fica claro que nenhum elemento de é maior ou igual a . Portanto, é um limite superior de .

Passo 5

Agora, precisamos mostrar que nenhum número menor que pode ser um limite superior de . Se escolhermos um número tal que , então sempre podemos encontrar um número em que está entre e , por exemplo, . Isso mostra que não pode ser um limite superior, já que existe um em maior que .

Resposta

Assim, concluímos que o supremo de é .

Exercícios relacionados

Mostre que , onde .
que , onde .
Se , mostre que toda subsequência de converge para .
Suponha que a sequência satisfaz para todo e para . Estabeleça a convergência e encontre o seu limite.