Mostre que
, onde
.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de intervalos
para cada número natural
. A tarefa é mostrar que a interseção de todos esses intervalos é o conjunto vazio, ou seja,
. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e propriedades de intervalos numéricos.
Passo 2
Primeiro, vamos pensar no que significa a interseção de todos os intervalos
. Um número
estaria nessa interseção se ele pertencesse a todos os intervalos
para todo valor de
. Isso significa que
teria que ser maior que 0 e, ao mesmo tempo, menor que
para todo
.
Passo 3
Agora, observe o comportamento de
conforme
aumenta. À medida que
fica maior,
fica cada vez menor, aproximando-se de 0. Então, para
ser menor que todos esses
, ele teria que ser menor que qualquer valor positivo, ou seja,
.
Passo 4
Mas, pelo próprio intervalo
, sabemos que
também tem que ser maior que 0. Então, estamos dizendo que
tem que ser maior que 0 e menor ou igual a 0 ao mesmo tempo. Isso é impossível, pois nenhum número pode satisfazer ambas as condições simultaneamente.
Resposta
Portanto, não existe nenhum número
que pertença a todos os intervalos
, o que significa que
.
Exercícios relacionados
Prove que se
, para todo
, então
.
Seja
e
. Mostre que
.
Se
, mostre que toda subsequência de
converge para
.