Mostre que , onde .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma sequência de intervalos para cada número natural . A tarefa é mostrar que a interseção de todos esses intervalos é o conjunto vazio, ou seja, . Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre limites e propriedades de intervalos numéricos.

Passo 2

Primeiro, vamos pensar no que significa a interseção de todos os intervalos . Um número estaria nessa interseção se ele pertencesse a todos os intervalos para todo valor de . Isso significa que teria que ser maior que 0 e, ao mesmo tempo, menor que para todo .

Passo 3

Agora, observe o comportamento de conforme aumenta. À medida que fica maior, fica cada vez menor, aproximando-se de 0. Então, para ser menor que todos esses , ele teria que ser menor que qualquer valor positivo, ou seja, .

Passo 4

Mas, pelo próprio intervalo , sabemos que também tem que ser maior que 0. Então, estamos dizendo que tem que ser maior que 0 e menor ou igual a 0 ao mesmo tempo. Isso é impossível, pois nenhum número pode satisfazer ambas as condições simultaneamente.

Resposta

Portanto, não existe nenhum número que pertença a todos os intervalos , o que significa que .

Exercícios relacionados

que , onde .
Prove que se , para todo , então .
Seja e . Mostre que .
Se , mostre que toda subsequência de converge para .