lim sen x-xx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é . Esse problema é sobre limites, um conceito fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e usar uma expansão em série para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando sen x = x - x^36 + x^5120 - dots está perto de zero, a função seno pode ser aproximada pela sua série de Taylor. A série de Taylor para em torno de zero é:
Isso significa que podemos substituir por essa aproximação na expressão do limite.

Passo 3

Substituindo a série de Taylor na expressão do limite, temos:

Passo 4

Agora, simplificamos dividindo cada termo do numerador por -x^36 + x^5120 - dotsx^3 = -16 + x^2120 - dots :
À medida que tende a zero, os termos com e superiores vão a zero.

Resposta

Portanto, o limite é:

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