lim sen x-xx^3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite que é . Esse problema é sobre limites, um conceito fundamental do cálculo. Para resolver, vamos precisar entender como a função seno se comporta perto de zero e usar uma expansão em série para simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que quando sen x = x - x^36 + x^5120 - dots está perto de zero, a função seno pode ser aproximada pela sua série de Taylor. A série de Taylor para em torno de zero é:
Isso significa que podemos substituir por essa aproximação na expressão do limite.

Passo 3

Substituindo a série de Taylor na expressão do limite, temos:

Passo 4

Agora, simplificamos dividindo cada termo do numerador por -x^36 + x^5120 - dotsx^3 = -16 + x^2120 - dots :
À medida que tende a zero, os termos com e superiores vão a zero.

Resposta

Portanto, o limite é:

Exercícios relacionados

Derive as seguintes funções:
j(x) = (x cos(2 x)) / (x^2 + 5)
Utilize uma mudança de variáveis adequada para resolver a integral
integral duplaD(x-y)^2 sin ^2(x+y) d A
com D é o paralelogramo de vértices (pi, 0),(2 pi, pi),(pi, 2 pi) e (0, pi).
O volume do sólido abaixo do gráfico z=f(x, y) e acima da região S no plano x y é dado por
V=integral1^2 integralx^x^3 f(x, y) d y d x+integral2^8 integralx^8 f(x, y) d y d x
Calcule V se f(x, y)=e^x(x / y)^1 / 2.
Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função f(x) no ponto P, quando:
f(x) = 2x / (x^2 + 1) e P(1, 1)