Utilize uma mudança de variáveis adequada para resolver a integral
com é o paralelogramo de vértices e .
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral dupla
onde é um paralelogramo com vértices em , , e . A matéria que vamos usar aqui é a mudança de variáveis em integrais múltiplas. Precisamos escolher uma transformação que simplifique a integral, e para isso, vamos usar uma mudança que envolva e .
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas novas variáveis:
Agora, precisamos expressar e em termos de e :
Somando e subtraindo as equações:
Em seguida, calculamos o determinante Jacobiano para a transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
O valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 3
Agora, vamos transformar a região no plano . Os vértices de são:
: ,
: ,
: ,
: ,
Então, a região no plano vai de a e de a .
Passo 4
Agora, reescrevemos a integral original em termos das novas variáveis integral duplaD(x-y)^2 sin ^2(x+y) , dA = integralu=pi^3pi integralv=-pi^pi v^2 sin^2(u) times |12| , dv , du e 12 integralpi^3pi sin^2(u) ( integral-pi^pi v^2 , dv ) du :
Simplificando:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral-pi^pi v^2 , dv
Como 2 integral0^pi v^2 , dv = 2 [ v^33 ]0^pi = 2 ( pi^33 - 0 ) = 2pi^33 é uma função par, podemos simplificar:
12 times 2pi^33 integralpi^3pi sin^2(u) , du = pi^33 integralpi^3pi sin^2(u) , du
Agora, substituímos de volta na integral:
sin^2(u) = 1 - cos(2u)2
Para resolver integralpi^3pi sin^2(u) , du = 12 integralpi^3pi (1 - cos(2u)) , du = 12 [ u - sin(2u)2 ]pi^3pi , usamos a identidade trigonométrica: