Utilize uma mudança de variáveis adequada para resolver a integral
integral duplaD(x-y)^2 sin ^2(x+y) d A
com D é o paralelogramo de vértices (pi, 0),(2 pi, pi),(pi, 2 pi) e (0, pi).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem que calcular a integral dupla
integral duplaD(x-y)^2 sin ^2(x+y) , dA
onde é um paralelogramo com vértices em , , e . A matéria que vamos usar aqui é a mudança de variáveis em integrais múltiplas. Precisamos escolher uma transformação que simplifique a integral, e para isso, vamos usar uma mudança que envolva e .

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas novas variáveis:
u = x + y
v = x - y
Agora, precisamos expressar x = u + v2 e y = u - v2 em termos de J = partial xpartial u & partial xpartial v partial ypartial u & partial ypartial v e partial xpartial u = 12, partial xpartial v = 12 :
Somando e subtraindo as equações:
partial ypartial u = 12, partial ypartial v = -12
J = 12 & 12 12 & -12 = (12 times -12) - (12 times 12) = -14 - 14 = -12
Em seguida, calculamos o determinante Jacobiano para a transformação. O Jacobiano é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Então,
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 3

Agora, vamos transformar a região no plano . Os vértices de são:
  1. : ,
  2. : ,
  3. : ,
  4. : ,
Então, a região no plano vai de a e de a .

Passo 4

Agora, reescrevemos a integral original em termos das novas variáveis integral duplaD(x-y)^2 sin ^2(x+y) , dA = integralu=pi^3pi integralv=-pi^pi v^2 sin^2(u) times |12| , dv , du e 12 integralpi^3pi sin^2(u) ( integral-pi^pi v^2 , dv ) du :
Simplificando:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna primeiro:
integral-pi^pi v^2 , dv
Como 2 integral0^pi v^2 , dv = 2 [ v^33 ]0^pi = 2 ( pi^33 - 0 ) = 2pi^33 é uma função par, podemos simplificar:
12 times 2pi^33 integralpi^3pi sin^2(u) , du = pi^33 integralpi^3pi sin^2(u) , du
Agora, substituímos de volta na integral:
sin^2(u) = 1 - cos(2u)2
Para resolver integralpi^3pi sin^2(u) , du = 12 integralpi^3pi (1 - cos(2u)) , du = 12 [ u - sin(2u)2 ]pi^3pi , usamos a identidade trigonométrica:
12 [ (3pi - sin(6pi)2) - (pi - sin(2pi)2) ] = 12 (3pi - pi) = 12 times 2pi = pi
Então,
Calculando:

Resposta

Finalmente, substituindo de volta:
pi^33 times pi = pi^43
Então, o valor da integral é .

Exercícios relacionados

lim x e^2-1-xx^2
Agora, usando as propriedades de derivadas e relações trigonométricas, diferencie as seguintes funções trigonométricas:
g(x) = (x + sen(x)) / (x - cos(x))
Derive as seguintes funções:
j(x) = (x cos(2 x)) / (x^2 + 5)
lim sen x-xx^3