O volume do sólido abaixo do gráfico
e acima da região
no plano
é dado por
Calcule
se
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular o volume
de um sólido que está abaixo do gráfico da função
e acima de uma região
no plano
. A fórmula que nos dá esse volume é uma integral dupla, e a função que vamos usar é
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular integrais duplas e aplicar isso à função dada.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a fórmula do volume:
Aqui, temos duas integrais duplas porque a região
está dividida em duas partes diferentes:
- De
a , e para cada , varia de a . - De
a , e para cada , varia de a .
Vamos calcular cada parte separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Vamos começar com a primeira integral:
Primeiro, simplificamos a função dentro da integral:
Então,
Agora, vamos calcular a integral interna em relação a
:
Avaliada de
a
:
Substituindo de volta na integral
:
Passo 4
Agora, vamos resolver as integrais obtidas:
Essas integrais requerem o método de integração por partes, que é dado por:
Para
:
Escolhemos
e
. Então,
e
.
Aplicando integração por partes:
Agora, precisamos calcular
, que também usa integração por partes:
Escolhemos
e
. Então,
e
.
Aplicando novamente:
Voltando à primeira parte:
Para
:
Usamos integração por partes novamente:
Escolhemos
e
. Então,
e
.
Aplicando:
Agora, substituindo de volta em
:
Vamos calcular cada termo:
Para
:
Em
:
Em
:
Então:
Para
:
Em
:
Em
:
Então:
Somando tudo:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda integral:
Seguimos um processo similar ao
:
Simplificando a função:
Então,
Calculando a integral interna:
Avaliada de
a
:
Substituindo na integral
:
A integral
não tem uma antiderivada elementar, então assumiremos que é expressa em termos de funções especiais ou será deixada como integral definida para cálculo numérico. Para simplificar, vamos focar na segunda parte:
Então,
Calculando a parte que conseguimos:
A primeira parte
precisaria de métodos numéricos ou funções especiais para ser resolvida exatamente, mas para fins deste exercício, vamos considerar que ela é parte da expressão final.
Resposta
Somando
e
, temos:
Portanto, o volume
é:
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Derive as seguintes funções:
Determine o gráfico da reta tangente ao gráfico da função
no ponto
, quando:
e