lim t 1[raizt-1t-1 i+(t-1) j+(t+1) k]

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Queremos encontrar o limite, quando [raizt - 1t - 1 , i + (t - 1) , j + (t + 1) , k] se aproxima de 1, da expressão vetorial:
Aqui, estamos lidando com limites de funções vetoriais, que envolvem calcular o limite de cada componente separadamente. Vamos resolver cada parte passo a passo.

Passo 2

Vamos começar com a primeira componente: ddt (raizt - 1) = 12raizt .
Note que, quando ddt (t - 1) = 1 se aproxima de 1, tanto o numerador quanto o denominador tendem a 0, resultando em uma forma indeterminada do tipo limt to 1 raizt - 1t - 1 = limt to 1 12raizt1 = 12raiz1 = 12 . Nesse caso, podemos usar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Primeiro, derivamos o numerador e o denominador com respeito a :
Agora, aplicamos a regra:

Passo 3

Vamos para a segunda componente: limt to 1 (t - 1) = 1 - 1 = 0 .
Calcular esse limite é mais simples:

Passo 4

Por fim, a terceira componente: limt to 1 (t + 1) = 1 + 1 = 2 .
Também é direta:

Resposta

Assim, juntando os limites de cada componente, temos que:
limt to 1[raizt-1t-1 , i + (t-1) , j + (t+1) , k] = 12 , i + 0 , j + 2 , k

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