Propriedades dos Limites Suponha que u e v sejam funções vetoriais que possuem limites quando t a e seja c uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.
(a) lim t a[u(t)+v(t)]=lim t a u(t)+lim t a v(t)
(b) lim t a c u(t)=c lim t a u(t)
© lim t a[u(t) cdot v(t)]=lim t a u(t) cdot lim t a v(t)
(d) lim t a[u(t) times v(t)]=lim t a u(t) times lim t a v(t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Propriedades dos Limites de funções vetoriais. Precisamos mostrar que certas operações com limites de funções vetoriais u(t) e v(t) funcionam como a gente espera. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar vetores, multiplicar por constantes, e calcular produto escalar e vetorial, além de usar as propriedades básicas de limites.

Passo 2

(a) lim t a[u(t)+v(t)]=lim t a u(t)+lim t a v(t)

Primeiro, vamos lembrar que a soma de limites é igual ao limite da soma, desde que os limites individuais existam. Para funções vetoriais, isso funciona componente a componente. Ou seja, se u(t) = (u1(t), u2(t), u3(t)) e v(t) = (v1(t), v2(t), v3(t)), então:
u(t) + v(t) = (u1(t) + v1(t), u2(t) + v2(t), u3(t) + v3(t))
Aplicando o limite em cada componente:
limt a [u(t) + v(t)] = ( limt a [u1(t) + v1(t)], limt a [u2(t) + v2(t)], limt a [u3(t) + v3(t)] )
Pelo limite da soma de funções escalares:
= ( limt a u1(t) + limt a v1(t), limt a u2(t) + limt a v2(t), limt a u3(t) + limt a v3(t) )
Isso é exatamente:
lim t a u(t) + lim t a v(t)

Passo 3

(b) lim t a c u(t) = c lim t a u(t)

Aqui, a gente está multiplicando a função vetorial u(t) por uma constante escalar c. Vamos fazer isso componente a componente também:
c u(t) = (c u1(t), c u2(t), c u3(t))
Aplicando o limite:
limt a [c u(t)] = ( c limt a u1(t), c limt a u2(t), c limt a u3(t) )
Isso é igual a:
c ( limt a u1(t), limt a u2(t), limt a u3(t) ) = c lim t a u(t)

Passo 4

© lim t a[u(t) cdot v(t)] = lim t a u(t) cdot lim t a v(t)

O produto escalar entre duas funções vetoriais é a soma das multiplicações das componentes correspondentes. Então:
u(t) cdot v(t) = u1(t)v1(t) + u2(t)v2(t) + u3(t)v3(t)
Aplicando o limite:
limt a [u(t) cdot v(t)] = limt a [u1(t)v1(t) + u2(t)v2(t) + u3(t)v3(t)]
Pelo limite da soma e do produto:
= limt a [u1(t)v1(t)] + limt a [u2(t)v2(t)] + limt a [u3(t)v3(t)]
E cada uma dessas é:
= ( limt a u1(t) ) ( limt a v1(t) ) + ( limt a u2(t) ) ( limt a v2(t) ) + ( limt a u3(t) ) ( limt a v3(t) )
Isso equivale a:
lim t a u(t) cdot lim t a v(t)

Passo 5

(d) lim t a[u(t) times v(t)] = lim t a u(t) times lim t a v(t)

Agora, vamos falar do produto vetorial. O produto vetorial de duas funções vetoriais resulta em um novo vetor cujas componentes são determinadas pelas componentes de u(t) e v(t). A fórmula é:
u(t) times v(t) = ( u2(t)v3(t) - u3(t)v2(t), u3(t)v1(t) - u1(t)v3(t), u1(t)v2(t) - u2(t)v1(t) )
Aplicando o limite em cada componente:
limt a [u(t) times v(t)] = ( limt a [u2(t)v3(t) - u3(t)v2(t)], limt a [u3(t)v1(t) - u1(t)v3(t)], limt a [u1(t)v2(t) - u2(t)v1(t)] )
Usando as propriedades de limite da soma e do produto:
= ( limt a [u2(t)v3(t)] - limt a [u3(t)v2(t)], limt a [u3(t)v1(t)] - limt a [u1(t)v3(t)], limt a [u1(t)v2(t)] - limt a [u2(t)v1(t)] )
Cada termo de produto pode ser separado:
= ( ( limt a u2(t) ) ( limt a v3(t) ) - ( limt a u3(t) ) ( limt a v2(t) ), dots )
Isso resulta em:
lim t a u(t) times lim t a v(t)

Resposta

Demonstramos que todas as propriedades solicitadas são verdadeiras:
(a) O limite da soma é a soma dos limites.
(b) O limite de um múltiplo escalar é o múltiplo pelo limite.
© O limite do produto escalar é o produto dos limites.
(d) O limite do produto vetorial é o produto vetorial dos limites.

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