Propriedades dos Limites Suponha que
e
sejam funções vetoriais que possuem limites quando
e seja
uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Propriedades dos Limites de funções vetoriais. Precisamos mostrar que certas operações com limites de funções vetoriais
e
funcionam como a gente espera. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar vetores, multiplicar por constantes, e calcular produto escalar e vetorial, além de usar as propriedades básicas de limites.
Passo 2
(a)
Primeiro, vamos lembrar que a soma de limites é igual ao limite da soma, desde que os limites individuais existam. Para funções vetoriais, isso funciona componente a componente. Ou seja, se
e
, então:
Aplicando o limite em cada componente:
Pelo limite da soma de funções escalares:
Isso é exatamente:
Passo 3
(b)
Aqui, a gente está multiplicando a função vetorial
por uma constante escalar
. Vamos fazer isso componente a componente também:
Aplicando o limite:
Isso é igual a:
Passo 4
©
O produto escalar entre duas funções vetoriais é a soma das multiplicações das componentes correspondentes. Então:
Aplicando o limite:
Pelo limite da soma e do produto:
E cada uma dessas é:
Isso equivale a:
Passo 5
(d)
Agora, vamos falar do produto vetorial. O produto vetorial de duas funções vetoriais resulta em um novo vetor cujas componentes são determinadas pelas componentes de
e
. A fórmula é:
Aplicando o limite em cada componente:
Usando as propriedades de limite da soma e do produto:
Cada termo de produto pode ser separado:
Isso resulta em:
Resposta
Demonstramos que todas as propriedades solicitadas são verdadeiras:
(a) O limite da soma é a soma dos limites.
(b) O limite de um múltiplo escalar é o múltiplo pelo limite.
© O limite do produto escalar é o produto dos limites.
(d) O limite do produto vetorial é o produto vetorial dos limites.
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, no ponto
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.
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Desenhe como devem ser aproximadamente as linhas de campo a uma distância
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):
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.
Duas cargas idênticas positivas