Propriedades dos Limites Suponha que e sejam funções vetoriais que possuem limites quando e seja uma constante. Demonstre as seguintes propriedades de limites.
(a)
(b)
©
(d)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre Propriedades dos Limites de funções vetoriais. Precisamos mostrar que certas operações com limites de funções vetoriais e funcionam como a gente espera. Para resolver isso, vamos precisar entender como somar vetores, multiplicar por constantes, e calcular produto escalar e vetorial, além de usar as propriedades básicas de limites.

Passo 2

(a)

Primeiro, vamos lembrar que a soma de limites é igual ao limite da soma, desde que os limites individuais existam. Para funções vetoriais, isso funciona componente a componente. Ou seja, se e , então:
Aplicando o limite em cada componente:
Pelo limite da soma de funções escalares:
Isso é exatamente:

Passo 3

(b)

Aqui, a gente está multiplicando a função vetorial por uma constante escalar . Vamos fazer isso componente a componente também:
Aplicando o limite:
Isso é igual a:

Passo 4

©

O produto escalar entre duas funções vetoriais é a soma das multiplicações das componentes correspondentes. Então:
Aplicando o limite:
Pelo limite da soma e do produto:
E cada uma dessas é:
Isso equivale a:

Passo 5

(d)

Agora, vamos falar do produto vetorial. O produto vetorial de duas funções vetoriais resulta em um novo vetor cujas componentes são determinadas pelas componentes de e . A fórmula é:
Aplicando o limite em cada componente:
Usando as propriedades de limite da soma e do produto:
Cada termo de produto pode ser separado:
Isso resulta em:

Resposta

Demonstramos que todas as propriedades solicitadas são verdadeiras:
(a) O limite da soma é a soma dos limites.
(b) O limite de um múltiplo escalar é o múltiplo pelo limite.
© O limite do produto escalar é o produto dos limites.
(d) O limite do produto vetorial é o produto vetorial dos limites.

Exercícios relacionados

Duas partículas são mantidas fixas no eixo : a partícula 1, de carga , no ponto , e a partícula 2 , de carga C, no ponto . Qual é o campo elétrico total a meio caminho entre as partículas, na notação dos vetores unitários?
Uma carga elétrica positiva está colocada na origem das coordenadas de um plano cartesiano, e na posição está uma carga negativa .
Desenhe como devem ser aproximadamente as linhas de campo a uma distância da origem do sistema de coordenadas.
Desenhe qualitativamente as linhas de campo das seguintes distribuições de carga (em todos os itens abaixo, ):
Duas cargas idênticas positivas separadas de uma distância .