Questão 7: Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços de papelão com
, cortando quadrados iguais dos quatros cantos e dobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume possível.
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fabricante que quer transformar um pedaço de papelão de
em uma caixa aberta. Para isso, ele vai cortar quadrados iguais dos quatro cantos e dobrar os lados. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser o comprimento do lado desses quadrados para que a caixa resultante tenha o maior volume possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e funções quadráticas que nos ajudarão a encontrar o valor que maximiza o volume da caixa.
Passo 2
Primeiro, vamos imaginar o pedaço de papelão original como um retângulo. Porém, a área total é muito pequena
, o que sugere que talvez haja um erro na unidade, mas vamos seguir com o enunciado. Ao cortar quadrados de lado
em cada canto e dobrar os lados, as dimensões da base da caixa ficarão reduzidas. Supondo que o papelão original seja quadrado para simplificar, cada lado original teria comprimento
.
Passo 3
Depois de cortar os quadrados e dobrar, as dimensões da base da caixa serão
em comprimento e largura. A altura da caixa será igual ao lado do quadrado cortado, ou seja,
. Portanto, o volume
da caixa pode ser representado pela função:
Passo 4
Para encontrar o valor de
que maximiza o volume, precisamos derivar a função
em relação a
e igualar a derivada a zero. Primeiro, expandimos a função:
Passo 5
Derivando
em relação a
:
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:
Passo 6
Resolvendo a equação quadrática:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como
resultaria em dimensões negativas para a base, descartamos essa solução. Portanto:
Resposta
O comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter a maior caixa possível é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Questão 3: Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro é 10 m .
© (1,0 ponto) Determine a equaçāo da reta
, tangente à
, que contém
, usando a definiçäo de derivads.