Questão 7: Um fabricante de caixas de papelão deseja fazer caixas abertas a partir de pedaços de papelão com , cortando quadrados iguais dos quatros cantos e dobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume possível.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um fabricante que quer transformar um pedaço de papelão de em uma caixa aberta. Para isso, ele vai cortar quadrados iguais dos quatro cantos e dobrar os lados. Nosso objetivo é descobrir qual deve ser o comprimento do lado desses quadrados para que a caixa resultante tenha o maior volume possível. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria e funções quadráticas que nos ajudarão a encontrar o valor que maximiza o volume da caixa.

Passo 2

Primeiro, vamos imaginar o pedaço de papelão original como um retângulo. Porém, a área total é muito pequena , o que sugere que talvez haja um erro na unidade, mas vamos seguir com o enunciado. Ao cortar quadrados de lado em cada canto e dobrar os lados, as dimensões da base da caixa ficarão reduzidas. Supondo que o papelão original seja quadrado para simplificar, cada lado original teria comprimento .

Passo 3

Depois de cortar os quadrados e dobrar, as dimensões da base da caixa serão em comprimento e largura. A altura da caixa será igual ao lado do quadrado cortado, ou seja, . Portanto, o volume da caixa pode ser representado pela função:

Passo 4

Para encontrar o valor de que maximiza o volume, precisamos derivar a função em relação a e igualar a derivada a zero. Primeiro, expandimos a função:

Passo 5

Derivando em relação a :
Para encontrar os valores críticos, igualamos a derivada a zero:

Passo 6

Resolvendo a equação quadrática:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por 12:
Usando a fórmula de Bhaskara:
Como resultaria em dimensões negativas para a base, descartamos essa solução. Portanto:

Resposta

O comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter a maior caixa possível é aproximadamente .

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