Questão 3: Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro é 10 m .

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as dimensões (comprimento e largura) de um retângulo que tenha a maior área possível, sabendo que o perímetro desse retângulo é 10 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria sobre retângulos e um pouquinho de cálculo para otimizar a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um retângulo é calculado somando todos os lados. A fórmula é:
Como o perímetro é 10 m, temos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que a soma do comprimento © e da largura (L) é 5 metros. Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Por exemplo:

Passo 3

Agora, vamos calcular a área do retângulo. A área (A) é dada por:
Substituindo L por :
Essa é uma equação quadrática que representa a área em função do comprimento.

Passo 4

Para encontrar a área máxima, precisamos encontrar o valor de C que maximiza essa expressão. Sabemos que uma parábola da forma tem um ponto máximo no seu vértice.
A fórmula para encontrar a coordenada do vértice de uma parábola é:
Aqui, e :
Então, o comprimento que maximiza a área é 2,5 metros.

Passo 5

Agora, vamos encontrar a largura correspondente usando a relação que já temos:

Resposta

As dimensões do retângulo de área máxima com perímetro de 10 metros são 2,5 metros de comprimento e 2,5 metros de largura.

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theta theta -1 theta
© (1,0 ponto) Determine a equaçāo da reta , tangente à , que contém , usando a definiçäo de derivads.
(d) (1,0 ponto) Encontre o ponto , que pertence ao graifico de e à reta perpendicular a