Questão 3: Determine as dimensões do retângulo de área máxima e cujo perímetro é 10 m .
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. A gente precisa encontrar as dimensões (comprimento e largura) de um retângulo que tenha a maior área possível, sabendo que o perímetro desse retângulo é 10 metros. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria sobre retângulos e um pouquinho de cálculo para otimizar a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o perímetro de um retângulo é calculado somando todos os lados. A fórmula é:
Como o perímetro é 10 m, temos:
Dividindo ambos os lados por 2:
Isso significa que a soma do comprimento © e da largura (L) é 5 metros. Podemos expressar uma das variáveis em função da outra. Por exemplo:
Passo 3
Agora, vamos calcular a área do retângulo. A área (A) é dada por:
Substituindo L por
:
Essa é uma equação quadrática que representa a área em função do comprimento.
Passo 4
Para encontrar a área máxima, precisamos encontrar o valor de C que maximiza essa expressão. Sabemos que uma parábola da forma
tem um ponto máximo no seu vértice.
A fórmula para encontrar a coordenada do vértice
de uma parábola
é:
Aqui,
e
:
Então, o comprimento que maximiza a área é 2,5 metros.
Passo 5
Agora, vamos encontrar a largura correspondente usando a relação que já temos:
Resposta
As dimensões do retângulo de área máxima com perímetro de 10 metros são 2,5 metros de comprimento e 2,5 metros de largura.
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, cortando quadrados iguais dos quatros cantos e dobrando os lados para cima. Encontre o comprimento do lado do quadrado a ser cortado para obter uma caixa com o maior volume possível.
© (1,0 ponto) Determine a equaçāo da reta
, tangente à
, que contém
, usando a definiçäo de derivads.
(d) (1,0 ponto) Encontre o ponto
, que pertence ao graifico de
e à reta
perpendicular a